概率论 第一章：随机事件与概率

第一章 随机事件与概率

1.1 随机事件及运算

1.1.1 随机试验与样本空间

• 随机试验（简称试验）：可在同条件下重复进行( 可重复性 )，可能的结果不止一个且都预先知道( 可预见性 )，之前不知道哪个结果会出现( 不可确定性 )。
• 样本点：试验所有可能出现的结果。
• 样本空间：全体样本点构成的集合。
  （样本空间包含的样本点数可以是有限的，也可以是无限的）

1.1.2 随机事件与随机变量

• 随机事件（简称事件）：可能会发生也可能不发生的事件叫随机事件。（任意事件都是样本空间的子集）
• 基本事件：单个样本点组成的事件。

• 必然事件$Ω$、不可能事件$∅$：也作为随机事件处理。

• 随机变量：用来表示随机试验结果的变量。

1.1.3 随机事件的关系及运算

事件间关系：

1. 包含：A包含于事件B→$A\subseteq B$ （A小B大）
2. 相等：$A=B$
3. 并：$A∪B$
4. 交：$A∩B$或$AB$
5. 互不相容（互斥）：A与B不能同时发生，$AB=∅$，$A∪B=A+B$
6. 对立：$\overline A$
7. 差：$A-B$

事件运算的性质：

1. 交换律：$A∪B=B∪A，AB=BA$
2. 结合律：$(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(AB)C=A(BC)$
3. 分配率：$(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)，(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)$
4. 对偶律：$\overline {A∪B}=\overline A \overline B，\overline {AB}=\overline A ∪ \overline B$（德摩根定律）

1.2 概率及性质

频率：事件发生的频繁程度。

性质：

1. 对任意事件A，$0≤f_n(A)≤1$
2. $f_n(Ω)=1，f_n(∅)=0$
3. A与B互不相容，即$AB=∅$，则$f_n(A∪B)=f_n(A)+f_n(B)$

概率

公理化定义：设$Ω$是随机实验E的样本空间，对每个事件A赋一实数$P(A)$，称为A的概率，如果集合函数$P(·)$满足下列条件：

1. 非负性：对任意事件A，$P(A)≥0$
2. 规范性：$P(Ω)=1$
3. 可列可加性：若$A_1…A_n$互不相容，即$A_iA_j=∅$，则$P(U_{i=1}^{+\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{+\infty}P(A_i)$

性质：

1. $P(∅)=0$（该性质逆命题不成立，即概率为0的事件未必是不可能事件）

2. 有限可加性：若$A_1…A_n$互不相容，即$A_iA_j=∅$，则$P(U_{i=1}^{n}A_i)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)$

3. 减法公式：$A\subset B$，则$P(B-A)=P(B)-P(A)$

推论1：（单调性）若$A\subset B$，则$P(A)≤P(B)$
推论2：对任意事件A,B，有$P(A\overline B)=P(A-B)=P(A)-P(AB)$

1. 容斥原理：对任意事件A、B，有$P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

1.3 古典概型和几何概型

1.3.1 古典概型

若随机试验有下述特征：

1. 样本空间$Ω$中只包含有限个样本点。
2. 每个样本点出现的可能性相同。

则为古典概型。

1.3.2 几何概型

向某一可度量的区域$Ω$内投掷一点，如果所掷的点落在$Ω$中任意子区域A内的可能性大小与A的度量（长度、面积或体积等）成正比，而与A的位置和形状无关，则称这一类随机试验的数学模型为几何模型。

$$P(A)=\frac {A的度量}{Ω的度量}$$

1.4 条件概率与乘法公式

1.4.1 条件概率

若$P(A)＞0$，则$P(B|A)=\frac {P(AB)}{P(A)}$
$P(·|A)$满足概率定义中的三条公理：非负性、规范性、可列可加性。

1.4.2 乘法公式

若$P(A)＞0$，则$P(AB)=P(A)P(B|A)$

1.4.3 全概率公式

原因→结果

对任意$i≠j，A_iA_j=∅$，且$A_1∪A_2…∪A_n=Ω$，则$P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$

1.4.4 贝叶斯公式

结果→原因

若满足以下三个条件：

1. $P(A_i)>0$
2. $A_1…A_n$是样本空间$Ω$的一个分割
3. $P(B)＞0$

则有：

$$P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^nP(A_j)P(B|A_j)}$$

1.5 独立性

1.5.1 两个事件的独立性

相互独立：$P(AB)=P(A)P(B)$

$Ω$和$∅$和任何事件都相互独立。

定理1.3：若$P(B)>0$，A、B独立的充要条件是$P(A|B)=P(A)$。

定理1.4：A、B独立，则$\overline A,B;A,\overline B;\overline A,\overline B;$也互相独立。

1.5.2 多个事件的独立性

若A、B、C两两独立且满足$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$，则A、B、C相互独立。

定理1.5：若$A_1,A_2…A_n$独立，则将其中任意K个事件换成其对立事件，所得事件组仍然互相独立。

互相独立和互不相容的区别

互不相容：

$P(AB)=0$

$AB=∅$

$P(A∪B)=P(A)+P(B)$

$P(A|B)=P(B|A)=0$

互相独立：

$P(AB)=P(A)P(B)$

$P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B)$

注：互不相容和互相独立不能同时存在。

技巧

①. 常用组合公式：

$$C_n^k=C_n^{n-k},\quad\quad C_{n+1}^k=C_n^k+C_n^{k-1},\\\sum_{i=1}^nC_n^i=2^n,\quad \quad C_{n+m}^k=\sum_{i=0}^kC_n^iC_m^{k-i}$$

②. $A,B$独立$\leftrightarrow P(B|A)=P(B|\overline A)\leftrightarrow P(A|B)+P(\overline A|\overline B)=1$