微波技术 第二章 传输线理论

2.1 引言

传输线：传输微波的专用电缆或者其他结构。

微波传输线的形态：双导线（平行线）、同轴电缆、带状线、微带线。

双导线与低频传输线有着本质的不同：功率通过双导线之间的空间传输。

了解：为什么用传输线？

集肤效应。当频率升高时，导体的电流、电荷和电池都集中在导体表面。

产生集肤效应的原因：变换的电磁场在导体内部产生涡旋电场，抵消原有电流。

集中参数：当元件尺寸远远小于工作波长时，可用特定参数表示该元件的特性，参数导线上的电压和电流不随时空变换。集中参数元件：电阻、电容、电感。集中参数电路分析方法：基尔霍夫电路定律。

分布参数：模型参数与工作特性既是时间的函数，还与元件尺寸、空间坐标有关。要用场的分析方法，根据麦克斯韦方程表征场的作用和传递。

2.2 传输线方程

1. 通过基尔霍夫定律推导出电压波和电流波的波动方程
2. 求解波动方程可得电压波和电流波表达式，并可以得出特征阻抗
3. 将边界条件代入电压波和电流波表达式，可以得到矩阵形式的表达式

2.2.1 传输线方程

$R(Ω/m)、L(H/m)、C(F/m)、G(S/m)$：两导体单位长度的串联电阻、串联电感、并联电容、并联电导。

基尔霍夫电压定律：

$$v(z,t)-R△zi(z,t)-L△z\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z+△z,t)=0$$

基尔霍夫电流定律：

$$i(z,t)-G△zv(z+△z,t)-C△z\frac{\partial v(z+△z,t)}{\partial t}-i(z+△z,t)=0$$

等式两边除以$△z$，并取$△z→0$，可得

$$\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=-Ri(z,t)-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}$$ $$\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=-Gv(z,t)-C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}$$

简谐稳态时，电压和电流具有余弦型向量形式，即

$$v(z,t)=Re\{V(z)e^{j\omega t}\} \quad\quad \quad i(z,t)=Re\{I(z)e^{j\omega t}\} \\\Downarrow\\ Re\{\frac{\partial V(z)e^{j\omega t}}{\partial z}\}=Re\{-RI(z)e^{j\omega t}-L\frac{\partial I(z)e^{j\omega t}}{\partial t}\}\\ Re\{\frac{\partial I(z)e^{j\omega t}}{\partial z}\}=Re\{-GV(z)e^{j\omega t}-C\frac{\partial V(z)e^{j\omega t}}{\partial t}\} \\\Downarrow\\ \frac{dV(z)}{dz}=-(R+j\omega L)I(z)\ \ \ ①\\ \frac{dI(z)}{dz}=-(G+j\omega C)V(z)\ \ \ ②$$

联立$①②$，可得关于$V(z)$和$I(z)$的波动方程：

$$\frac{d^2V(z)}{dz^2}-\gamma^2V(z)=0\\ \frac{d^2I(z)}{dz^2}-\gamma^2I(z)=0$$

复传播常数：$\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$

$\alpha$：衰减常数，$Np/m$；$\beta$：相位常数，$rad/m$

对于理想传输线（无损），$\alpha=0;R,G=0$，$\gamma=j\beta=j\omega\sqrt{LC}$。（2020年考到）

求解$V(z)$和$I(z)$的波动方程可得：

$$V(z)=V^+_0e^{-\gamma z}+V^-_0e^{\gamma z}\\ I(z)=I^+_0e^{-\gamma z}+I^-_0e^{\gamma z}$$

其中，$V^+_0、V^-_0、I^+_0、I^-_0$由边界条件决定。

通常用$e^{j\omega t\pm \gamma z}$表示波，$e^{j\omega t-\gamma z}$和$e^{j\omega t+\gamma z}$分别代表沿$+z$方向和沿$-z$方向传播的波，即入射波和反射波。

如果不考虑损耗$\alpha=0$，入射波和反射波可以分别表示为$e^{j(\omega t-\beta z)}$和$e^{j(\omega t+\beta z)}$。

假设$z$轴正方向从源指向负载，$e^{j(\omega t-\beta z)}$的固定相位点满足$\omega t-\beta z=C$（常数）,则相速度为：

$$v_p=\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{\omega t-constant}{\beta})=\frac{\omega}{\beta}>0$$

2.2.2 特征阻抗

将$V(z)$表达式代入到$\frac{dV(z)}{dz}=-(R+j\omega L)I(z)$中，则

$$\frac{dV(z)}{dz}=-\gamma V^+_0e^{-\gamma z}+\gamma V^-_0e^{\gamma z}=-(R+j\omega L)I(z)\\\Downarrow \\ I(z)=\frac{\gamma}{(R+j\omega L)}[V^+_0e^{-\gamma z}-V^-_0e^{\gamma z}]$$

定义传输线的特征阻抗：

$$Z_0=\frac{R+j\omega L}{\gamma}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$$

无耗传输线：$\alpha=0,R=G=0$，传播常数$\gamma=j\beta=j\omega \sqrt{LC}$，此时$Z_0=\frac{L}{C}$。$V(z)$和$I(z)$可表示为：

$$V(z)=V^+_0e^{-j\beta z}+V^-_0e^{j\beta z}\\ I(z)=\frac{V_0^+}{Z_0}e^{-j\beta z}-\frac{V_0^-}{Z_0}e^{j\beta z}$$

2.2.3 边界条件

若已知负载处$(z=0)$，$V(0)=V_L,I(0)=I_L$，则有如下关系：

$$V(0)=V_0^++V_0^-=V_L\quad\quad\quad I(0)=\frac{V_0^+}{Z_0}-\frac{V_0^-}{Z_0}=I_L\\ \Downarrow\\ V_0^+=\frac12(V_L+Z_0I_L)\quad\quad\quad V_0^-=\frac12(V_L-Z_0I_L)$$

将$V^+_0$和$V_-$代入电压波和电流波的表达式，整理可得：

$$V(z)=V_L\cos(\beta z)-jZ_0I_L\sin(\beta z)\\ I(z)=-j\frac{V_L}{Z_0}\sin(\beta z)+I_L\cos (\beta z)$$

若传输线的长度为$l$，负载在$z=0$处，传输线输入端$z=-l$的电压波和电流波为：

$$V(-l)=V_L\cos (\beta l)+jZ_0I_L\sin(\beta l)\\ I(-l)=j\frac{V_L}{Z_0}\sin(\beta l)+I_L\cos(\beta l)$$

写成矩阵形式：

$$\left[\begin{matrix} V(-l)\\ I(-l) \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \cos(\beta l )&jZ_0\sin(\beta l)\\ \frac j{Z_0}\sin(\beta l)&\cos(\beta l) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} V_L\\ I_L \end{matrix}\right]$$

2.3 传输线的状态及参量

2.3.1 输入阻抗

输入阻抗$Z_{in}$：传输线上任意一点电压与电流之比。

$$\begin{aligned} Z_{in}(-l)&=\frac{V(-l)}{I(-l)} \\&=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta l)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta l)} \end{aligned}$$

其中，$Z_L=\frac{V_L}{I_L}$

$$\begin{aligned} Y_{in}(-l)&=\frac1{Z_{in}(-l)} \\&=Y_0\frac{Y_L+jY_0\tan(\beta l)}{Y_0+jY_L\tan(\beta l)} \end{aligned}$$

其中$Y_L=\frac1{Z_L},Y_0=\frac1{Z_0}$

输入阻抗$Z_{in}$具有周期性，$\beta=2\pi/\lambda$，无耗传输线上任意相距$\lambda/2$处的阻抗相同。

传输线上$z=-l-\frac{\lambda}{4}$处的输入阻抗为：

$$Z_{in}(-l-\frac{\lambda}4)=\frac{Z_0^2}{Z_{in}(-l)}$$

说明$\frac{\lambda}4$传输线具有阻抗变换的作用，称为四分之一波长变换器。

定义归一化阻抗为$\overline Z=\frac{Z}{Z_0}$，那么

$$\overline Z_{in}(-l-\frac{\lambda}{4})=1/\overline Z_{in}(-l)$$

表明传输线上相隔$\frac{\lambda}{4}$的两点，其归一化输入阻抗互为倒数。

2.3.2 反射系数

传输线某处的反射系数，定义为该处的反射电压波（或电流波）和入射电压波（或电流波）之比，用$\Gamma(z)$来表示，即

$$\Gamma(z)=\Gamma_V(z)=-\Gamma_I(z)=\frac{V_0^-e^{j\beta z}}{V_0^+e^{-j\beta z}}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}e^{j2\beta z}\quad z\le0$$

反射系数$\Gamma(z)$反映入射波与反射波振幅和相位的差异。

2.1.3节提到，若已知负载处$(z=0)$，$V(0)=V_L,I(0)=I_L$，则有如下关系：

$$V(0)=V_0^++V_0^-=V_L\quad\quad\quad I(0)=\frac{V_0^+}{Z_0}-\frac{V_0^-}{Z_0}=I_L\\ \Downarrow\\ V_0^+=\frac12(V_L+Z_0I_L)\quad\quad\quad V_0^-=\frac12(V_L-Z_0I_L)$$

在负载处（$z=0$），反射系数为

$$\Gamma(0)=\Gamma_L=|\Gamma_L|e^{j\theta_L}=\frac{V_0^-}{V_0^+}\tag{1}$$

将$(1)$代入到$\Gamma(z)$表达式中，得

$$\Gamma(z)=\Gamma_Le^{j2\beta z}=|\Gamma_L|e^{j(2\beta z+\theta_L)}\quad,z\le 0$$

由此可见，无耗传输线上各处反射系数模值相同，幅角随该处与负载距离的变化而变化。

将$(1)$带入，电压波和电流波可表达为，

$$\begin{aligned} V(z)&=V^+_0e^{-j\beta z}+V^-_0e^{j\beta z}\\&=V^+_0(e^{-j\beta z}+\Gamma_Le^{j\beta z})\\\\ I(z)&=\frac{V_0^+}{Z_0}e^{-j\beta z}-\frac{V_0^-}{Z_0}e^{j\beta z}\\&=\frac{V_0^+}{Z_0}(e^{-j\beta z}-\Gamma_Le^{j\beta z}) \end{aligned}$$

传输线上任意一点的输入阻抗：

$$Z_{in}(z)=\frac{V(z)}{I(z)}=Z_0\frac{1+\Gamma_Le^{j·2\beta z}}{1-\Gamma_Le^{j·2\beta z}}=Z_0\frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)}$$

负载处$Z_{in}(0)=Z_L,\Gamma(0)=\Gamma_L$，有

$$Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}\quad\quad \Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$$

当$Z_L=Z_0$时，$\Gamma_L=0$，即负载终端无反射，此时传输线上的反射系数$\Gamma(z)=\Gamma_Le^{j2\beta z}$处处为零，称为阻抗匹配。

2.3.3 电压驻波比

电压波幅度最大值位于入射波和反射波相位相同处，而幅度最小值位于入射波和反射波的相位相反处，即

$$|V|_{max}=|V_0^+|+|V_0^-|=|V_0^+|(1+|\Gamma(z)|) \\|V|_{min}=|V_0^+|-|V_0^-|=|V_0^+|(1-|\Gamma(z)|)$$

其中$|\Gamma(z)|=|V_0^-|/|V_0^+|$，取值范围$0\le |\Gamma(z)|\le 1$。

电压驻波比ρ定义为传输线上波幅点电压振幅与波节点电压振幅之比，即

$$ρ=\frac{|V|_{max}}{|V|_{min}}=\frac{1+|\Gamma(z)|}{1-|\Gamma(z)|}$$

取值范围$0\le|\Gamma(z)|\le 1$。

• 当阻抗匹配$(Z_L=Z_0)$时，$|\Gamma(z)|=|\Gamma_L|=0,ρ=1$；
• 当波被负载全部反射时，$|\Gamma(z)|=|\Gamma_L|=1,ρ=\infty$

定义$l_{min,0}$：从负载$(z=0)$向信号源方向移动到最近一个波节点的距离。推导可得：

$$l_{min,0}=\frac{\lambda}{4\pi}(\theta_L\pm\pi)\quad,0\lt l_{min,0}\le \frac{\lambda}{2}$$

2.4 传输线的工作状态

传输线的工作状态是指终端接不同负载时，沿线电压和电流的分布状态。

2.4.1 行波状态

阻抗匹配，无反射波，称为行波状态。

$$Z_L=Z_0\quad\quad\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=0\quad\quadρ=\frac{1+|\Gamma_z|}{1-|\Gamma_z|}=1$$

行波状态时电压波和电流波的表达式：

$$V(z)=V^+_0e^{-j\beta z}\quad\quad \quad I(z)=\frac{V_0^+}{Z_0}e^{-j\beta z}$$

输入阻抗：

$$Z_{in}(z)=\frac{V(z)}{I(z)}=Z_0\quad ,z\le 0$$

考虑瞬时形式：

$$v(z,t)=Re\{V_0^+e^{-j\beta z}e^{j\omega t}\}=|V_0^+|\cos (\omega t-\beta z+\phi_0)\\ i(z,t)=Re\{\frac{V_0^+}{Z_0}e^{-j\beta z}e^{j\omega t}\}=\frac{|V_0^+|}{Z_0}\cos (\omega t-\beta z+\phi_0)$$

其中$V_0^+=|V_0^+|e^{j\phi_0}$

红$(\omega t=0)$,蓝$(\omega t=\frac{\pi}{4})$,黑$(\omega t=\frac{\pi}{2})$

2.4.2 纯驻波状态

纯驻波状态：$|\Gamma|=1$的全反射情况。

定理：传输线全反射的条件是负载端接纯电抗，即$Z_L=jX_L$（推导略）。

纯驻波状态——短路状态

短路状态：$Z_L=0$，此时$\Gamma_L=-1$，$V_0^-=-V_0^+$，$ρ=\infty $

电压波和电流波表达式：

$$V_{sc}(z)=-j2V_0^+\sin(\beta z)\quad\quad\quad I_{sc}(z)=2\frac{V_0^+}{Z_0}\cos(\beta z)\quad ,z\le 0$$

输入阻抗为：

$$Z_{in,sc}(-l)=\frac{V_{sc}(-l)}{I_{sc}(-l)}=jZ_0\tan(\beta l)\quad ,l\ge0$$

短路传输线上会周期性地出现电压和电流的波腹点和波节点。

纯驻波状态——开路状态

开路状态：$Z_L=\infty$，此时$\Gamma_L=1,V_0^-=V_0^+,ρ=\infty$

电压波和电流波的表达式：

$$V_{oc}(z)=2V_0^+\cos(\beta z)\quad\quad\quad I_{oc}(z)=-j2\frac{V_0}{Z_0}^+\sin(\beta z)\quad\quad,z\le0$$

输入阻抗：

$$Z_{in,oc}(-l)=-jZ_0\cot(\beta l)\quad\quad l\ge 0$$

开路传输线上也会周期性地出现电压和电流的波腹点和波节点。

$$Z_{in,oc}(-l)=-jZ_0\cot(\beta l)=jZ_0\tan(\beta l+\frac{\pi}{2})=jZ_0\tan[\beta(l+\frac{\lambda}{4})]=Z_{in_sc}(-l-\frac{\pi}{4})$$

终端开路传输线是延伸（或缩短）$\frac{\lambda}{4}$的终端短路传输线。

纯驻波状态——任意电抗负载

传输线端接任意电抗负载$Z_L=jX_L$

推导可得：

$$△l=\frac{\lambda}{2\pi}\arctan(\frac{X_L}{Z_0})$$ $$\Gamma_L=e^{j\theta_L}\quad\quad\quad \theta_L=\pi-2\arctan(\frac{X_L}{Z_0})$$

电压波的表达式（推导）：

$$V(-l)=j2V_0^+e^{j(\frac{\theta_L-\pi}{2})}\sin(\beta l-\frac{\theta_L-\pi}{2})$$

电流波的表达式（推导）：

$$I(-l)=2\frac{V_0^+}{Z_0}e^{j\frac{\theta_L-\pi}{2}}\cos(\beta l-\frac{\theta_L-\pi}{2})$$

输入阻抗为：

$$\begin{aligned} Z_{in}(-l)&=\frac{V(-l)}{I(-l)}\\ &=jZ_0\tan(\beta l-\frac{\theta_L-\pi}{2})\\ &=jZ_0\tan(\beta l+\arctan(\frac{X_L}{Z_0})) \end{aligned}$$

2.4.3 行驻波状态

一般的部分反射情况。

$$\Gamma_L=|\Gamma_L|e^{j\theta_L}\quad\quad Z_L=R_L+jX_L$$

电压波和电流波表达式（推导）：

$$V(-l)=V_0^+(1-\Gamma_L)e^{j\beta l}+2V_0^+\Gamma_L\cos(\beta l)\\ I(-l)=\frac{V_0}{Z_0}^+(1-\Gamma_L)e^{j\beta l}+j2\frac{V_0}{Z_0}^+\Gamma_L\sin(\beta l)$$

传输线上电压波和电流波的模值（推导）：

$$|V(-l)|={\{\mid V_0^+\mid ^2[1+\mid \Gamma_L\mid ^2+2\mid \Gamma_L\mid \cos(\theta_L-2\beta l)]\}}^{\frac12}\\ |I(-l)|={\{\mid \frac{V_0^+}{Z_0}\mid ^2[1+\mid \Gamma_L\mid ^2-2\mid \Gamma_L\mid \cos(\theta_L-2\beta l)]\}}^{\frac12}$$

其中$l\ge 0$

①. 当$\theta_L-2\beta l=2n\pi$时，$\cos(\theta_L-2\beta l)=1$，有

$$|V|_{max}=|V_0^+|(1+|\Gamma_L|)\quad\quad\quad |I|_{min}=|\frac{V_0^+}{Z_0}|(1-|\Gamma_L|)$$

此时的电压波、电流波和输入阻抗表示为：

$$V(-l)=V_0^+e^{j\beta l}(1+|\Gamma_L|)\\ I(-l)=\frac{V_0^+}{Z_0}e^{j\beta l}(1-|\Gamma_L|)\\ Z_{in}(-l)=\frac{V(-l)}{I(-l)}=ρZ_0$$

②. 当$\theta_L-2\beta l=(2n+1)\pi$时，$\cos(\theta_L-2\beta l)=-1$，有

$$|V|_{max}=|V_0^+|(1-|\Gamma_L|)\quad\quad\quad |I|_{min}=|\frac{V_0^+}{Z_0}|(1+|\Gamma_L|)$$

此时的电压波、电流波和输入阻抗表示为：

$$V(-l)=V_0^+e^{j\beta l}(1-|\Gamma_L|)\\ I(-l)=\frac{V_0^+}{Z_0}e^{j\beta l}(1+|\Gamma_L|)\\ Z_{in}(-l)=\frac{V(-l)}{I(-l)}=\frac{Z_0}{ρ}$$

2.4.4 平均功率

传给负载的功率（推导）：

$$\begin{aligned} P(z)&=\frac12Re[V(z)I^\star(z)]\\ &=\frac12\frac{|V_0^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2) \end{aligned}$$

即传输功率等于入射波功率减去反射波功率。

2.6 原图及其应用

2.6.1 反射系数复平面

反射系数范围$0\le |\Gamma|\le 1$，反射系数复平面为：

$$\Gamma(z=0)=\Gamma_L\quad\quad\quad \Gamma(z=-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}=\Gamma_{in}$$

给在负载前添加一段传输线，等效于给负载端的反射系数幅角顺时针旋转$2\beta l$角度，而反射系数的模值$|\Gamma|$不变。

已知输入端的反射系数，求负载端的反射系数时，需要逆时针旋转输入端的反射系数。

$$\Gamma_L=\Gamma_{in}e^{j2\beta l}$$

2.6.2 推导史密斯原图

$$[Re\{\Gamma(-l)\}-\frac{r}{1+r}]^2+Im^2\{\Gamma(-l)\}=(\frac{1}{1+r})^2$$

上式表示在反射系数复平面上的一簇圆，这些圆以$(\frac{r}{1+r},0)$为圆心，以$\frac1{1+r}$为半径，与归一化的电抗$x$无关，被称为等电阻圆。

$$[Re\{\Gamma(-l)-1\}]^2+[Im\{\Gamma(-l)\}-\frac1x]^2=(\frac1x)^2$$

上式表示在反射系数复平面上的一簇圆，这些圆以$(1,\frac1x)$为圆心，以$\frac1x$为半径，与归一化的电阻$r$无关，被称为等电抗圆。

将等电阻圆和等电抗圆同时放在反射系数复平面上，就是史密斯原图。横轴为纯电阻线，$r=0$即$|\Gamma|=1$的圆为纯电抗线。

以原点为圆心，$|\Gamma_L|\le 1$为半径做出的圆，代表着传输线上任意一点$(z=-l)$的反射系数。在这个圆上，反射系数的模值相同，但是相位不同。

2.6.3 史密斯原图与电压驻波比

电压驻波比：

$$ρ=\frac{|V|_{max}}{|V|_{min}}=\frac{|V_0^+|(1+|\Gamma_L|)}{|V_0^+|(1-|\Gamma_L|)}=\frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}$$

输入阻抗和归一化输入阻抗：

$$Z_{in}(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}\quad\quad z_{in}(-l)=\frac{Z_{in}(-l)}{Z_0}=\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$$

找到电压驻波比$ρ$和归一化输入阻抗$z_{in}(-l)$能够相互转化的条件：

①. 当$\Gamma(-l)=|\Gamma_L|$时，

$$z_{in}(-l)=r+jx=ρ\\ r=ρ∈[1,\infty]\quad\quad x=0$$

等效于反射系数复平面横轴的正半部分$Re\{\Gamma\}\ge 0$

②. 当$\Gamma(-l)=-|\Gamma_L|$时，

$$z_{in}(-l)=r+jx=\frac1ρ\\ r=\frac1ρ∈[0,1]\quad\quad x=0$$

等效于反射系数复平面横轴的负半部分$Re\{\Gamma\}\le0$

2.6.4 如何使用史密斯原图

用直尺或圆规记录下某一阻抗的反射系数的模值，该模值是史密斯原图中心点和某一阻抗值的距离。而后在特定标尺上以CENTER为起点，找到该距离对应的数值。

以状态参量$\Gamma$的模$|\Gamma|$为基底，消去特征阻抗$Z_0$，把相位常数$\beta$归于$\Gamma$的相位，映射归一化输入阻抗$z_{in}(-l)$和电压驻波比$ρ$。

2.6.5 从阻抗圆图到导纳圆图

$$z_{in}(-l)=\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}=r+jx\\ y_{in}(-l)=\frac{1+[-\Gamma(-l)]}{1-[-\Gamma(-l)]}=g+jb$$

阻抗圆图和导纳圆图有相同的形式，但是有不同的物理意义。

阻抗圆图的等电阻圆和等电抗圆，分别对应着导纳圆图的等电导圆和等电纳圆。

纯电抗线（$r=0,|\Gamma|=1$）的上半圆为感性，下半圆为容性；纯电纳线（$g=0,|\Gamma|=1$）相反。

导纳圆图的开路点和短路点与阻抗圆图的相反。

对于导纳圆图，从负载到源和从源到负载依旧分别是顺时针和逆时针旋转。

2.6.6 导纳圆图实现阻抗匹配——单枝节匹配

$y_{in}(-l)=1$，待求解参量为主传输先长度$l$和枝节长度$d$

Stub处可以代表开路或短路两种情况。

要求网络总的归一化电导为1：

$$y_{in}(-l)=1+j0=1$$

根据并联网络的关系，有

$$y_{in}(-l)=y'_{in}(-l)+y''_{in}(-d)$$

由于枝节从导纳圆图短路点(1,0)或开路点(-1,0)出发，在传输线上其导纳只能是纯电纳（也可理解为原负载被归一化后需要将电纳部分抵消，才能将总输入导纳归一化），因此

$$y''_{in}(-d)=-jb\quad\quad\quad y'_{in}(-l)=1+jb$$

四种方法：

2.6.7 导纳圆图实现阻抗匹配——双枝节匹配

同样要求网络总的归一化电导为1：$y_2(-l_2-l_1)=1+j0=1$

根据并联网络的关系，有：$y_2(-l_2-l_1)=y’_2(-l_2-l_1)+y’’_2(-d_2)$

由于枝节从导纳圆图短路点(1,0)或开路点(-1,0)出发，在传输线上其导纳只能是纯电纳（也可理解为原负载被归一化后需要将电纳部分抵消，才能将总输入导纳归一化），因此有

$$y''_2(-d_2)=-jb_2\quad\quad y'_2(-l_2-l_1)=1+jb_2$$

2.6.8 导纳圆图实现阻抗匹配——双枝节匹配

主传输线长度固定$(l_1,l_2已知)$，直接长度可调$(确定d_1,d_2)$。

最终的结果要求网络的归一化电导为1：$y_2(-l_2-l_1)=1.0+j0=1.0$，即史密斯原图的原点。

根据并联网络的关系，有

$$y_2(-l_2-l_1)=y'_2(-l_2-l_1)+y''_2(-d_2)$$

由于枝节从导纳圆图短路点(1,0)或开路点(-1,0)出发，在传输线上其导纳只能是纯电纳（也可理解为原负载被归一化后需要将电纳部分抵消，才能将总输入导纳归一化），因此

$$y''_2(-d_2)=-jb_2\quad\quad\quad y'_2(-l_2-l_1)=1+jb_2$$

导纳$y’_2(-l_2-l_1)=1+jb_2$处在$g=1$等电导圆，通过传输线$l_2$由第二个枝节到达第一个枝节，等效于在圆图上从$1+jb_2$出发，沿等反射系数模值圆逆时针旋转$l_2$所对应的角度。

相应的，$g=1$等电导圆逆时针旋转$l_2$所对应的角度，变为$z=-l_1$处的辅助圆。

如果$l_2=\frac{\lambda}{8}$，对应旋转角度为$2\beta l_2=2\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\lambda}{8}=\frac{\pi}{2}$

观察点从$z=-l_2-l_1$移动到$z=-l_1$意味着$g=1$的等电导圆旋转至辅助圆，这一过程中反射系数模值$|\Gamma|$不变，但是$z=-l_1$处电导$g_l$不再是1。此时，第一段传输线所对应的输入导纳为：

$$y_1(-l_1)=y'_1(-l_1)+y''_1(-d_1)$$ $$y''_1(-d_1)=-jb_1$$

在史密斯圆图上，$y’_1(-l_1)$逆时针旋转$l_1$所对应的角度$2\beta l_1$便可到达负载所对应的导纳$y_L$

做题时的步骤：

①. 先将负载阻抗转变为导纳，然后确定导纳在史密斯图的位置；

②. 从$y_l$点的位置按等$|\Gamma|$圆顺时针旋转$l_1$到达$y’_1$（$y’_1$的实部为$g_l$），此时可以；

③. 按等电导圆$g_l$与辅助圆交于$y_1$，此时可以计算出$d_1$，方法为$y_1$和$y’_1$虚部相减；

④. 从$y_1$点按等$|\Gamma|$顺时针旋转$l_2$到达$y’_2$，因为$y_2=1$，所以此时可以计算出$d_2$，即$y_2’$的虚部的相反数。

2.7 阻抗匹配

类型：

• 负载阻抗匹配：$Z_L=Z_0$，负载阻抗等于传输线的特征阻抗，此时传输线上只有入射波，没有反射波；
• 源阻抗匹配：$Z_g=Z_0$，电源内阻等于传输线的特征阻抗，匹配源给传输线的入射功率不随负载而变化。负载有反射时，反射波被电源吸收；
• 共轭阻抗匹配：$Z_{in}=Z^\star_g$，负载得到最大功率的匹配方式。

2.7.1 源和负载匹配

之前研究传输线时都是假定源是匹配的，故在源端无反射发生。

令$Z_{in}=R_{in}+jX_{in}$和$Z_g=R_g+jX_g$，则一般情况下无耗传输线上传给负载的平均功率是：

$$P_{abs}=\frac12|V_g|^2\frac{R_{in}}{(R_{in}+R_g)^2+(X_{in}+X_g)^2}$$

负载阻抗匹配时，$Z_{in}=R_{in}+jX_{in}=Z_0=R_{in}，X_{in}=0$

$$P_{abs,LM}=\frac12|V_g|^2\frac{Z_0}{(Z_0+R_g)^2+X_g^2}$$

2.7.2 共轭匹配

当$R_{in}=R_g,X_{in}=-X_g$时，共轭阻抗匹配条件为$Z_{in}=Z^\star_g$：

$$P_{abs,CM}=\frac12|V_g|^2\frac{1}{4R_g}$$