数一 真题总结
2002年
得分：135~140（16题求梯度忘了加根号；18题线代证明题证明的不太规范；20题矩估计典型题目生疏。）
- 第3题：属于$y’’=f(y,y’)$型的可降阶的高阶方程，解法为设$p=y’,p’=\frac{dp}{dy}p$
- 第4题：标准形为$f=6y^2_1$说明特征值为$6,0,0$，$6$是一重特征值，且$\sum a_{ii}=\sum\lambda_i$，故$3a=6,a=2$；这是最简便解法。
- 第10题：根据概率密度和分布函数的充要条件判断。概率密度的充要条件：非负性，规范性；分布函数的充要条件：单调不减，非负有界，右连续。
- 第12题：需要注意，题干里并没有说$f(x)$是可导的，所以不能将$\lim_{n\to\infty}nf(\frac2n)$视为$\lim_{x\to \infty}xf(\frac2x)$然后用洛必达，需要使用导数定义来求解。
- 第14题：除了常规方法之外，还有一些比较简便的方法：1、原函数法，被积分式可以转化为原函数$d(\frac xy)+f(xy)d(xy)$；2、受$ab=cd$启发，可以选择$xy=k$的路径进行积分。
- 第16题：方向导数最大值是梯度的模，求模要加根号。
- 第20题：矩估计的时候给出了一些样本观测值是为了求$\bar X$，$E(X)=\bar X$，单独求左边用$\theta$表示的$E(X)$时与样本观测值无关。
2010年
得分：130~132（第4题想错了一点；第11题把$\partial Q/\partial x$算成了$\partial Q/\partial y$；第19题，把曲面表达式对三个方向的偏导当成了切向量，其实是法向量【关于面就是法向量，关于线就是切向量】，也因此导致了后面求积分错误）
第3题，是关于反常积分瑕积分的收敛性问题，一个薄弱点，通过下面的结论来证明：对于瑕积分：设$f(x)$在$(a,b)$非负，且$x=a(或x=b)$是$f(x)$的瑕点且：$\lim_{x\to a+0}(x-a)^pf(x)=l(或\lim_{x\to b-0}(b-x)^pf(x)=l)$，则当
$p<1且0\le l\lt +\infty$时瑕积分$\int_a^b f(x)dx$收敛。
第4题，$i$的那部分和$j$的那部分是可以拆开的，$n$只是一个常数，不必把所有的$n$都放一起。
- 第14题，实际上求出来是一个泊松分布，这样就可以直接根据泊松分布的期望和方差求出$EX^2$。
- 第19题，已知曲面$F(x,y,z)=0$，则向量$(F’_x,F’_y,F’_z)$是曲面的法向量，则它与$(0,0,1)$数量积为0。另外积分中绝对值无法通过讨论情况来去掉，所以应选择合适的投影方向把它消掉。
- 第22题，$\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}=\sqrt \pi,\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{t^2}2}=\sqrt {2\pi}$
2011年
得分：143~145（12题被积曲面的法向量方向判断反了，另外计算过程也出现了错误，$\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}$算成了$\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial y}$；16题的做的答案为$f’_1+f’’_{11}+f’’_{12}$，不太准确，应写成$f’_1(1,1)+f’’_{11}(1,1)+f’’_{12}(1,1)$）
- 第1题：拐点的充要条件是$f’’(x_0)=0,f’’’(x_0)\ne 0$或$f’’(x_0)=0$且$x_0$两边$f’’(x_0)$异号。求导时可以设$g(x)=(x-1)(x-2)^2(x-4)^2$，然后利用莱布尼茨公式求高阶导。
- 第5题：初等矩阵的逆矩阵：$E(i,j)^{-1}=E(i,j);E(i(k))^{-1}=E(i(\frac1k));$$E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k))$，即互换不变，被乘取倒，倍加取反。
- 第9题：应注意弧长公式（三种坐标下）：$s=\int_a^b\sqrt{1+y’^2}dx=\int_{\alpha}^\beta \sqrt{x’^2+y’^2}dt=\int_{\alpha}^\beta\sqrt{ρ^2+ρ’^2}d\theta$
- 第12题：要注意利用斯托克斯公式时，线的方向和所围面的法向量的方向应满足右手法则，则本题法向量方向应朝着z轴正向；另外这个题目有多重不同的解法：1. 斯托克斯公式转化为面积分；2. 利用$z=x+y$代入转化为平面上的第二类曲线积分然后用格林公式；3. 利用参数方程直接转化为定积分。
- 第20题：由定理：设$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$可由$\beta_1,\beta_2,…,\beta_t$线性表出，则$r(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s)\le r(\beta_1,\beta_2,…,\beta_t)$，即秩小的向量组可以由秩大的向量组线性表出。
- 第23题：第二问求$E(\hat σ^2)$和$D(\hat σ^2)$时，虽然$σ^2$未知，但答案仍然可以用它来表示。
2012年
得分143~144（填空第10题一个很简单的定积分算错了-4；17题求幂级数和函数需要讨论$x=0$的情况，没讨论-2；21题一个小细节，最后算对了但是没有把最终的二次型写出来-1）
- 第1题，在求斜渐近线时，若$\lim_{x\to \infty}\frac yx=a=0$，则斜渐近线不存在。
- 第2题，可以通过乘积求导公式来求，但也可以通过定义直接求，利用到等价无穷小$e^x-1\sim x$
- 第3题，CD可举反例$f(x,y)=C$；若$\lim_{x\to0,y\to0}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=A,\lim_{x\to0,y\to0}\alpha=0$，正确选项B的考虑过程为：
- 第8题，$Y=1-X$，$X,Y$之间有明显的线性关系，到这儿其实就可以得出$ρ=-1$；要是计算的话可以由$D(1-X)=D(X),Cov(1-X,X)=-D(X)$得出
- 第11题，梯度是一个向量，其模是方向导数的最大值；散度是一个数，注意区分
- 第13题，$n$维单位列向量$\alpha$，$\alpha\alpha^T$的特征值是$1,0,…,0$，其中$\lambda=1$对应的特征向量为$\alpha$
- 第17题，求幂级数的和函数，因为最后求得的结果中分母有$x$，所以应单独讨论$x=0$的情况，$S(0)=3$
- 第18题，在求平面区域的面积时的三种坐标下的公式为$S=\int_a^b ydx=\int_a^b ψ(t)\varphi’(t)dt=\frac12\int_\alpha^\beta ρ^2(\theta)d\theta\ 或\int_a^b r\cdot \theta(r)dr$
2013年
得分：137~140（第19题第二问有个积分算错了-2；第20题$AC-CA=B$中的减号当成了加号，导致整个大题算错 -8~-11[怪不得这么难算…]）
- 第3题，傅里叶级数在$[0,l]$上展开为正弦：$a_n=0,b_n=\frac2l\int_0^l f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$，$T=2l$
- 第5题，可逆矩阵可以表示成为有限个初等矩阵的乘积，所以$A$通过有限次初等列变换变成$C$，而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系。
- 第13题，$a_{ij}+A_{ij}=0\Leftrightarrow A^T=-A^\star\Leftrightarrow |A|=-|A|^2$，$r(A)$只能是3或0；又因$r(A^T)=r(A)=r(A^\star)\ne0$，故$r(A)=3,|A|\ne0$
- 第15题，有两种解法：1. 转化为二重积分然后转换积分次序（这次做的时候用的）；2. 分部积分
- 第19题，求直线绕一轴旋转之后得到的曲面方程的思路时，根据直线上初始的点和旋转到任意位置的点的距离相同来列等式，最后根据已用未知数和其它未知数的关系进行代换。
- 第21题，第二问的思路时证明二次型矩阵的特征值是2,1,0，因为正交变换后得到的标准型的系数是特征值。
2014年
得分：124~127（选择题第6题、第8题错了，感觉是因为前几个选择题有做起来比较不顺畅的，到了这后面不能完全沉下心算；填空第13题，思路不够灵活；大题19题，级数敛散性的证明，老薄弱点；20题，最后答案不是一个k，每一列的k都不一样；23题第三问通过辛钦大数定律来做）
- 第2题：$g(x)$就是过$(0,f(0)),(1,f(1))$的直线，$f’’(x)\ge 0\to f(x)$凹，可以画图：
- 第4题，把积分式看成自变量为$a,b$的函数$f(a,b)$，函数取最小值则对$a,b$偏导为0，对$a$求偏导等于0可以得出$a$的值，$b$同理。此题看似是定积分相关，实则考察的是多元函数微分学的极值问题。
- 第7题，有两种方法：1. 秩，2. 定义+举反例（$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，$\alpha_3=0$）
- 第9题，可以通过基本公式来算；也有一个巧妙的办法，就是设$X_1,X_2\sim N(0,1)$，这样题目将变得非常简单。
- 第12题，有三种方法：1. 斯托克斯公式转化成第一类曲面积分，$\frac1{\sqrt2}(0,1,1)=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$；2. 通过参数方程转化成定积分：$x=\cos t,y=\sin t,z=-\sin t$；3. 通过$z=-y$转化成平面上的曲线积分，然后用格林公式。
- 第13题，两种方法：1. 此题用配方法比较简单；2. 用二次型矩阵法，可以设$A$的3个特征值$\lambda_1\le\lambda_2\le \lambda_3,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0$，由负惯性指数为$1$得$\lambda_1\lt 0\le \lambda_2\le \lambda_3$，必有$|A|=a^2-4\le 0$
- 第19题，级数收敛证明（大题里还是要首先考虑比较判别法和比较判别法的极限形式），还是那个问题，要巧妙利用各种不等式放缩的方法，还有等价无穷小等。本题中用到了$\sin x\le x$，$\cos x\le 1$，$\cos x-1\sim \frac12 x^2$。
- 第20题，注意要把三对方程组的通解的未知数$k$区分开来，$k_1,k_2,k_3$
- 第23题，第三问，用辛钦大数定律（此定律使用前提是$X_i$独立同分布，数学期望存在）
2015年
得分：140~145（填空题13题计算$n$阶行列式错误，感觉是精力不够充沛和集中导致；第16题，最后一步一个数字4写成了2…）
- 第7题，假设$P(A),P(B)\ne 0$，若$A,B$互斥，则$P(AB)=0\lt P(A)P(B)$，若$A,B$不互斥，则$P(AB)=P(A)P(B|A)\ge P(A)P(B)$，所以$A,B$选项都不对；$P(A)\ge P(AB),P(B)\ge P(AB),$故$P(A)+P(B)\ge 2P(AB)$，$C√$
- 第13题，1. 递推法： $D_n=2D_{n-1}+(-1)^{n+1}\cdot 2\cdot (-1)^{n-1}=2D_{n-1}+2$，且$D_1=2$，故$D_n=2(2D_{n-1}+2)+2=2^2D_{n-1}+2^2+2=2^nD_1+2^n+…+2=2^{n+1}-2$；2. 初等变换法，把第2行的2倍加到第1行，第3行的4倍加到第1行…第n行的$2^{n-1}$倍加到第1行，最终第一行只剩下最右边一个元素$2+2^2+…+2^n=2^{n+1}-2$，则行列式的值为$(-1)^{n+1}\cdot(2^{n+1}-2)\cdot(-1)^{n-1}=2^{n+1}-2$
- 第18题，证明$[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)$，之后要按照答案的思路多证几遍。
- 第19题，根据曲线$L$的方程式可以把曲线积分$I=\int_L(y+z)dx+(z^2-x^2+y)dy+(x^2+y^2)dz$直接化成$I=\int_{L}(y+x)dx+ydy+(2-z)dz$，这样用斯托克斯公式化简完更简便（如果直接使用斯托克斯的话，得出结果后再利用对称性也能化简）；另，本题也可以用参数方程转化成定积分，$x=\sin t,y=\sqrt{2}\cos t,z=\sin t,t∈[0,\pi]$
- 第21题，求可逆矩阵$P$，使$P^{-1}AP$为对角矩阵时，$P$不一定非得时正交矩阵，只满足时特征向量即可。在对实对称矩阵用正交矩阵相似对角化时，和二次型的正交变换时，所求矩阵必须要正交化、单位化。
2016年
得分：125（选择题第4题题目比较新颖，但其实解题方法不偏，弄错了；第15题最后多算了一个数字；第19题证明题思路打不开；第21题第二问脑子没转过弯。）
- 第1题，反常积分的敛散性问题。$\int_{0}^\infty\frac{1}{x^a(1+x)^b}dx$里包括两种反常积分，需要分开分别讨论：$\int_{0}^\infty\frac{1}{x^a(1+x)^b}dx=\int_{0}^1\frac{1}{x^a(1+x)^b}dx+\int_1^\infty\frac{1}{x^a(1+x)^b}dx$
- 第4题，$f(0)=0,f_+(0)=\lim_{n\to \infty}\frac1n=0$，故连续；$f’_-(0)=(x)’=1$，$1\le \frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac1{nx}\lt \frac{n+1}n$，当$x\to 0^+$时，必有$n\to \infty, \lim_{n\to \infty}\frac{n+1}n=1$，因此$f’_+(0)=1=f’_-(0)$，$f(x)$在$x=0$可导。
- 第6题，$5y^2_1-y^2_2-y^2_3=2$是双叶双曲面形式。
- 第18题，积分区域$Ω$由$2x+y+2z=2$与三个坐标平面围城，求$\iiint_{Ω}xdV$的方法有两种：1. 先1后2，常规方法，$0\le y\le 2(1-x-z),D_{xz}=\{(x,z)|x+z=1\}$；2. 先2后1，与$x$轴垂直的截面区域$D(x)$是直角三角形，其面积时$\frac12yz=\frac12\cdot 2(1-x)\cdot (1-x)=(1-x)^2$，则$\iiint_{Ω}xdV=\int_0^1 x(1-x)^2dx$
- 第19题，第一问，用到了拉格朗日中值定理和比较判别法（大收敛→小收敛）；第二问用到了级数收敛的等价特性：部分和$S(x)$有极限，以及拉格朗日中值定理。
- 第21题，第2问，$B^{100}=B^{98}\cdot BA=B^{97}\cdot BA^2=…=BA^{99}$
- 第22题，第3问，$U=\begin{cases}1,X\le Y\\0,X>Y \end{cases},Z=U+X$，则$F_Z(z)=P\{X\le z,X>Y\}+P\{X\le z-1,X\le Y\}$
2017年
得分：147（第19题第一问，求xoy平面上的投影曲线，需要联立$z=0$，不然就是个空间柱体）
- 第2题，构造函数：$F(x)=f^2(x)$；因为是选择题，可以通过特殊值选取法求解，令$f(x)=e^x,f(x)=-e^x$可分别排除错误选项；
- 第9题，$f(x)$是偶函数，求导改变奇偶性，求三次导后$f’’’(x)$是奇函数，$f’’’(0)=0$；
- 第19题，在$xoy$平面的投影曲线是$\begin{cases}x^2+y^2=2x\\ z=0 \end{cases}$，而不是$x^2+y^2=2x$；第二问需要注意，$S$是个薄片型物体，不是一个实心的东西，所以需要进行第一类曲面积分而不是三重积分；
2018年
得分：120~125（17题曲面积分直接算错，中间有一个减号写成了加号；18题第二问思路被绕进去了；20题第2问想的太简单了；21题解方程组常识性错误；22题第二问不够细心）
问题：碰见难度较高的卷子会影响心态的稳定，导致后面出现一些不该犯的错误
- 第6题，一方面，$A$是$(A,AB)$的子矩阵，则$r(A,AB)\ge A$；令一方面，$(A,AB)=A(E,B)$，则$r(A,AB)\le r(A)$。故$r(A,AB)=r(A)$；换种方式考虑，$AB$是指对$A$做有限次初等列变换，$AB$可由$A$线性表出，$r(A,AB)=r(A)$
- 第12题，由对称性，$\oint_Lxyds=\oint_Lzxds=\oint_Lyzds$，$2(xy+zx+yz)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=-1$
- 第18题，取辅助面$\sum_1:x=0(y^2+z^2\le \frac13)$（取后侧）之后利用高斯公式。
- 第19题，以后再遇到变限积分像$\int_0^xf(x)dx$这种，被积变量$x$变为$t$（$\int_0^xf(t)dt$）再想着换元什么的，否则容易乱。
- 第20题，$a$不同值，二次型矩阵的秩不同，特征值就变了，然后规范性也可能跟着变，所以第二问求规范性要讨论$a$的取值。
- 第21题，单调有界准则的证明题。规范思路：1. 先假设数列极限存在，给定等式两边取极限来求得数列的极限（草稿纸上完成）；2. 根据所求的数列极限来证明有界性；3. 证明单调性。4. 在卷子上最终求得数列极限。
2019年
得分：139（选择题第2题粗心导致错误；16题第2问积分最后一步算错了一点；18题证明题第2问没做出来）
- 第2题，$f’_-(0)=-2x|_{x=0}=0,f’_+(0)=\ln x+1|_{x=0}\to -\infty ,f’_-(0)\ne f’_+(0)$，当$x∈(-\delta,0),f’_-(x)>0; x∈(0,\delta),f’_+(x)<0$，故$x=0$是$f(x)$的极值点。极值点（或拐点）的判断不能只看导数（或二阶导）等于0的点，还得看导数（二阶导）不存在的点的左右边导数的正负。
- 第6题，3个平面两两都不相互平行，说明$A$的$3$个行向量两两都线性无关，则$r(A)\ge 2$；3张平面无公共点，方程组无解，$r(A)\lt r(\overline A)\le 3$。
- 第16题，梯度是一个向量，其方向是函数在这点方向导数最大的方向，模是方向导数的最大值。所以有$\frac{6a}{-3}=\frac{8b}{-4}$
- 第18题第2问利用第一问证明得到的结论用夹逼定理来求。
- 第19题，$x^2+(y-z)^2=(1-z)^2$虽然不是常见的锥面类型，但对应固定的一个$z=a$面截得的图像还是一个圆，所以可以利用先二后一积分比较简便，另外在求$\iiint_{Ω}ydv$时，需要利用坐标平移变换和对称性。
- 第20题，两个基过渡等式：$[\beta_1,\beta_2…\beta_n]=[\alpha_1,\alpha_2…\alpha_n]C$，坐标变换等式：$x=Cy$
- 第21题，注意两点：1. 不同特征值对应的特征向量必线性无关；2. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。所以不是所有矩阵的特征值对应的特征向量都相互正交，但线性无关是一定的。
2021年
得分：135（填空题14题理解有问题，18题求级数的收敛域忘记考虑特殊点的情况；21题第2问思路没打开）
- 第2题，$df(x,y)=f’_x(x,y)dx+f’_y(x,y)dy$
- 第4题，由定积分的定义，$\int_0^1f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(ξ_k)△x_k $，把$[0,1]$分成$n$分，则每份$△x_i=\frac1n$，取每份的中点$ξ=\frac12({\frac{k-1}{n}}+{\frac{k}{n}})$
- 第7题，$AB$表示对$A$进行有限次初等列变换，行关系不变。
- 第10题，$\mu=11.5$时犯第二类错误的概率为$P\{\overline W|μ=11.5\}$
- 第14题，空间区域$\{(x,y,z)|x^2+4y^2\le 4,0\le z\le2\}$的表面表示侧面柱体面加上上下底面（如果说是柱体$x^2+4y^2\le 4$被$z=0,z=2$割下的区域的话那么才不表示上下底面）
- 第18题，求级数的收敛域及和函数题型要先根据比值判别法或根值判别法求得收敛区间，然后判断端点的敛散性来得到收敛域。再根据相关方法求和函数，一定要注意需不需要讨论特殊点。
- 第21题，第2问，$P^{T}AP=Λ$，$Λ=B^2$，$B$是对角阵（$B^T=B$），正定矩阵$C^2=CC^T=A=PΛP^T=PBP^T(PBP^T)^T\to C=PBP^T$。
