数一高数 第十一章：向量代数与空间解析几何

第一节：向量代数

1. 数量积

（1）几何表示：$\vec a·\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\alpha$

（2）代数表示：$\vec a·\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

（3）运算规律：交换律、分配律

（4）几何应用：

• 求模：$|\vec a|=\sqrt{\vec a·\vec a}$
• 求夹角：$\cos \alpha =\frac{\vec a·\vec b}{|\vec a||\vec b|}$
• 判断两向量垂直：$\vec a⊥\vec b\leftrightarrow \vec a·\vec b=0$

2. 向量积

（1）几何表示：$\vec a×\vec b$是一向量；模：$|\vec a×\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin \alpha$；方向：右手法则。

（2）代数表示：

$$\vec a×\vec b=\left[\begin{matrix} i&j&k\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end{matrix}\right]$$

（3）运算规律：

• $\vec a×\vec b=-(\vec b×\vec a)$
• 分配率：$\vec a×(\vec b+\vec c)=\vec a×\vec b+\vec a×\vec c$

（4）几何应用：

• 求同时垂直于$\vec a$和$\vec b$的向量：$\vec a×\vec b$
• 求以$\vec a$和$\vec b$为邻边的平行四边形面积：$S=|\vec a×\vec b|$
• 判定两向量平行：$\vec a //\vec b\leftrightarrow \vec a×\vec b=0$

3. 混合积

（1）几何表示：$(\vec a\vec b\vec c)=(\vec a×\vec b)·\vec c$

（2）代数表示：

$$(\vec a\vec b \vec c )=\left[\begin{matrix} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z \end{matrix}\right]$$

（3）运算规律：

• 轮换对称性：$(\vec a\vec b\vec c)=(\vec b\vec c\vec a)=(\vec c\vec a\vec b)$
• 交换变号：$(\vec a\vec b\vec c)=-(\vec a\vec c\vec b)$

（4）几何应用：

• $V_{平行六面体}=|(\vec a\vec b\vec c)|$
• 判定三向量共面：$\vec a,\vec b,\vec c共面\leftrightarrow (\vec a\vec b\vec c)=0$

第二节：空间平面与直线

1. 平面方程

①. 一般式：$Ax+By+Cz+D=0. \ \vec n=\{A,B,C\}$

②. 点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

③. 截距式：$\frac xa+\frac yb+\frac zc=1$

2. 直线方程

①. 一般式：

$$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$$

②. 对称式：

$$\frac {x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n$$

③. 参数式：

$$\begin{cases} x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt \end{cases}$$

3. 平面束方程

通过直线$L$：

$$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$$

的平面束方程是：

$$\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$

其中$\lambda,\mu$是不同时为$0$的任意常数。

4. 点到面的距离

点$(x_0,y_0,z_0)$到平面$Ax+By+Cz+D=0$的距离：

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

5. 点到直线的距离

点$(x_0,y_0.z_0)$到直线$\frac{x-x_1}l=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$的距离：

$$d=\frac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)×(l,m,n)|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$$

公垂线：设直线$L_1,L_2$分别过点$P_1,P_2$，其方向向量分别为$U_1,U_2$，可建立异面直线公垂线的一般方程：

$$\begin{cases} (\vec{P_1P},\vec {U_1},\vec {U_1}×\vec {U_2})=0\\ (\vec{P_2P},\vec {U_2},\vec {U_1}×\vec {U_2})=0 \end{cases}$$

公垂线的长度：

$$d=\frac{|(\vec{P_1P_2},\vec{U_1},\vec{U_2})|}{|\vec{U_1}×\vec {U_2}|}$$

第三节：曲面与空间曲线

1. 曲面方程

一般式：$F(x,y,z)=0$或$z=f(x,y)$

2. 空间曲线

$$①.参数式：\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases} \quad \quad \quad②一般式：\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}$$

3. 常见曲面

旋转面

一条平面曲线绕平面上一条直线旋转。

设$L$是$yOz$平面上一条曲线，其方程是$\begin{cases}f(y,z)=0\\x=0\end{cases}$，则

①. $L$绕$y$轴旋转所得旋转面方程为：$f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0$

②. $L$绕$z$轴旋转所得旋转面方程为：$f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$

或由参数方程：$\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\\z=h(t) \end{cases}(t∈(\alpha,\beta))$，得到旋转面的参数方程：

$$\begin{cases} x=\sqrt{f^2(t)+g^2(t)}\cos\theta\\ y=\sqrt{f^2(t)+g^2(t)}\sin\theta\\ z=h(t) \end{cases} \quad,\alpha<t<\beta,0\le \theta\le2\pi$$

柱面

$Γ$是一条空间曲线，直线$L$沿$Γ$平行移动所产生的曲面叫柱面，$Γ$称为柱面的准线，$L$叫柱面的母线。

①. 若准线方程是$Γ:\begin{cases}f(x,y)=0\\z=0 \end{cases}$

当母线平行于$z$轴时，柱面方程是$f(x,y)=0$

当母线的方向向量是$S=\{l,m,n\}$时，柱面方程是$f(x-\frac lnz,y-\frac mnz)=0$

②. 若准线方程是$Γ:\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\\z=h(t) \end{cases},t∈(\alpha,\beta)$，母线的方向向量是$S=\{l,m,n\}$，柱面方程是：

$$\begin{cases} x=f(t)+lu\\ y=g(t)+mu\\ z=h(t)+nu \end{cases} \quad,(\alpha<t<\beta,-\infty<u<+\infty)$$

二次曲面

①. 椭圆锥面：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 ；\quad特别的：圆锥面x^2+y^2=z^2$$

②. 椭球面：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1;\quad 特别的：球面x^2+y^2+z^2=R^2$$

③. 单叶双曲面：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

④. 双叶双曲面：

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

⑤. 椭圆抛物面：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z;\quad 特别地：旋转抛物面z=x^2+y^2$$

⑥. 双曲抛物面（马鞍面）：

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$$

空间曲线投影

曲线$Γ:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$，消去$z$得到关于$xOy$面的投影柱面$H(x,y)=0$，曲线$Γ$在$xOy$面上的投影曲线方程为$\begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases}$

第四节：多元微分学在几何上的应用

1. 曲面的切平面与法线

• 曲面$F(x,y,z)=0$：法向量$\vec n=(F’_x,F’_y,F’_z)$
• 曲面$z=f(x,y)$：法向量$\vec n=(f’_x,f’_y,-1)$

2. 曲线的切线与切平面

$$曲线\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases} ,切向量：\vec τ=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$$ $$曲线\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases} ,切向量：\vec τ=\vec n_1×\vec n_2\\ \quad \quad\quad其中\vec n_1=(F'_x,F'_y,F'_z),\vec n_2=(G'_x,G'_y,G'_z)$$

题型总结（强化）