数一线代 第四章：线性方程组
一、基本概念
非齐次线性方程组：
利用矩阵乘法来表示：
矩阵形式：
矩阵A可按列分块：$A=(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n)$，则方程组向量形式为：
其中$\beta=(b_1,b_2,…,b_n)^T$。
齐次线性方程组：
定理：线性方程组的初等行变换把线性方程组变成与它同解的方程组。
二、齐次线性方程组
一定有零解， 如果还有其它的解，称为非零解。
基础解系：$\eta_1,\eta_2,…,\eta_t$是齐次线性方程组$Ax=0$的解，而且满足
①. $\eta_1,\eta_2,…,\eta_t$线性无关；
②. $Ax=0$的任一个解$\eta$都可由$\eta_1,\eta_2,…,\eta_t$线性表出；
则称$\eta_1,\eta_2,…,\eta_t$是$Ax=0$的一个基础解系。
解的性质：$\eta_1,\eta_2,…,\eta_t$是齐次线性方程组$Ax=0$的解， 则对任意常数$k_1,k_2,…,k_t$，
仍是该齐次方程组的解。
定理：齐次方程组$A_{m×n}x=0$有非零解$\leftrightarrow r(A)<n$。
推论：①. 当$m<n$时，$Ax=0$必有非零解；
②. 当$m=n$时， $Ax=0$有非零解$\leftrightarrow |A|=0$。
定理：齐次线性方程组系数矩阵的秩$r(A)=r<n$，则基础解系的个数为$n-r$。
要证$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_t$是$Ax=0$的基础解系，需要：
- 验证$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_t$是$Ax=0$的解
- 证明$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_t$线性无关
- $t=n-r(A)$
三、非齐次线性方程组
解的性质：
①. $\xi_1,\xi_2$是$Ax=b$的两个解，则$\xi_1-\xi_2$是$Ax=0$的解。
②. $\xi$是$Ax=b$的解，$\eta$是$Ax=0$的解，则$\xi+k\eta$是$Ax=b$的解。
定理：（$A_{m×n}$）
$Ax=b$有解$\leftrightarrow r(A)=r(\overline A)\leftrightarrow b$可由A的列向量线性表出
$Ax=b$无解$\leftrightarrow r(\overline A)=r(A)+1$
唯一解: $r(A)=r(\overline A)=n$
无穷多解：$r(A)=r(\overline A)<n$
通解：$\alpha$是$Ax=b$的解，$\eta_1,\eta_2,…,\eta_t$是$Ax=0$的基础解系，则$Ax=b$的通解为：
解题技巧
①. 若$|A|=0$，则$AA^\star=A^\star A=|A|E=0$，则$A^\star$的列向量为$Ax=0$的解。
②. 需要理解的一点，在讨论齐次线性方程组行数$m$和列数$n$的关系时，没有提$m>n$的情况。
首先注意一个前提$r(A)=A$的行秩$=A$的列秩，所以如果$m>n$时，$r(A)\le n$，即秩受到了列数$n$的限制，这时就不必再考虑$m$的大小。换句话说，$r(A)\le min\{m,n\}$；
如果$Ax=b$中$A$的行向量组线性无关，则$r(A)=m$一定成立，此时也默认会有$m\le n$，因为如果$m>n$的话，$r(A)\le n\lt m$，行向量一定线性相关。
③. 问题：已知n维向量组$\eta_1,\eta_2,…,\eta_k$线性无关，求一个n元齐次方程组$AX=0$，使得$\eta_1,\eta_2,…,\eta_k$是它的基础解系。方法：以$\eta_1,\eta_2,…,\eta_k$为行向量构造矩阵$B$，求出$BX=0$的一个基础解系$\gamma_1,\gamma_2,…,\gamma_{n-k}$，令$A$是以$\gamma_1,\gamma_2,…,\gamma_{n-k}$为行向量的$(n-l)×n$阶矩阵，则$AX=0$即所求。
