合工大森哥五套卷总结
第一套
分数：11+（或许是一段时间没刷套卷的原因，加上不认真计算，做的很差）
- 第4题，题干里说了是正项级数！！
- 第5题，A,B可以举反例
- 第6题，$\left[\begin{matrix}A&\beta\\\beta^T&0 \end{matrix}\right]$是$n+1$阶方阵，它的秩可能等于$n+1$也可能小于$n+1$
- 第9题，$\sum_{k=2}^\infty \frac{a}{k(k+1)}=\frac{a}{2}=1$，直接用裂项法算就行，不需要用级数法，绕了弯路
- 第10题，$\frac{(n-1)S^2}{σ^2}\sim χ^2_{n-1}$的双侧置信区间为：$(\frac {(n-1)S^2}{χ^2_{n-1}(α/2)},\frac {(n-1)S^2}{χ^2_{n-1}(1-α/2)})$，单侧为：$(\frac {(n-1)S^2}{χ^2_{n-1}(α)},+\infty)$；$χ^2$分布是不关于坐标轴对称的。
- 第15题，注意给的矩阵是$A^{-1}$，所以要求$|A|$还得取倒数！
- 第17题，$e^{\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x}}=e^{-\infty}=0$（怎么可能可以使用洛必达呢？？）$e^{\lim_{x\to 0+}(\frac1x-1)\ln x}=e^{+\infty\cdot -\infty}=e^{-\infty}=0$
- 第18题，$Q(x)$是$0$啊，$f’(r)=e^{-\int\frac2r dr}[\int 0\cdot e^{-\int\frac2r dr}+C]=\frac C{r^2}$
- 第19题，使用高斯公式要把上下两个平面的积分给减去
- 第20题，第一问证明对角化，用到了$A\ m×n, B\ n× s \ , AB=0,r(A)+r(B)\le n$和$r(A+B)\le r(A)+r(B)$的秩的性质和$|A|=\prod\lambda_i$。还是从r重特征值有n-r个线性无关的特征向量出发
- 第21题，第二问从$P\{Y-Z=0\}=\frac12$就可以直接得出$Y-Z$不是连续型随机变量，因为连续型随机变量在任一点上概率都为$0$；因为$Y-Z$不是连续型，所以也不服从正态分布，又因为正态分布具有可加性，所以说假设$(Y,Z)$服从二维正态分布，那么$Y-Z$就会服从正态分布，和事实相悖，所以$(Y,Z)$不服从二维正态分布。
第二套
得分:110；（遇难则乱的心态亟需改善）
- 第4题，A，$S(n)=a_1-a_{n+1},\lim_{n\to \infty}a_n$存在，$\lim_{n\to \infty}\frac{|a_nb_n|}{b_n}=\lim_{n\to \infty }|a_n|$，故收敛（不管极限是不是0都可以得出）；B，反例$b_n=\frac1{n^2},a_n=n$；C，反例$b_n=\frac1n,a_n=(-1)^n$；D，反例$b_n=\frac1n,a_n=0$
- 第5题，设逆矩阵然后解矩阵方程求出$A^{-1}$，然$A^\star=|A|A^{-1}$。或通过$A^\star A=|A|E$从选项中验证。
- 第6题，对于正定矩阵：
- 第10题，$P\{χ^2\ge χ^2_\alpha(2)\}=P\{X_1^2+X_2^2\ge χ^2_\alpha(2)\}$，转化为$f(x_1,x_2)$的二重积分
- 第11题，硬算是算不出来的，需要放缩！
- 第14题，参数方程曲线绕$y$轴旋转一周得到的旋转曲面的面积：$\int_{\alpha}^{\beta}2\pi x(t)\sqrt{x’^2(t)+y’^2(t)}dt$
- 第17题，需要对隐函数等式多次求导。
- 第18题，先求区域内的驻点，再求边界上的极值点（直线边界转化为一元，曲线边界用拉格朗日乘数法）
- 第19题，用高斯定理不要忘记加上的两个平面需要去掉。
第三套
得分：119（做题时要先后清晰的思路轮廓）
- 第5题，$\left(\begin{matrix}E\\B\end{matrix}\right)$时列满秩矩阵，由”$A$可逆，$r(AB)=r(B)$“可知$D$正确。
- 第6题，可以证明$C$是可逆的，那么由$D=C^TAC$知，$A$和$D$合同，然后由惯性定理，$A$和$D$的正负惯性指数相同。
- 第7题，
设$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+l\beta=0$，左乘$\beta^T$得$l\beta^T\beta=0\to l=0$，又$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta$线性无关。
- 第11题，注意$g’’(0)$中的$0$是指$y=0$，不是$x$
- 第13题，求$f^{(n)}(x)$的极小值点，就得对$f^{(n)}(x)$再求导，即对$f^{(n+1)}(x)$进行分析；莱布尼茨公式：$(uv)^{n}=\sum_{i=0}^n C_{n}^i u^{(i)}v^{(n-i)}$
- 第14题，$f(x)=x^2$是偶函数，将其展开为余弦，则$f(x)=x^2=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx$，但注意题目中求的是下标从0开始的。
- 第18题，法①. 通过消$z$转换成平面的第二类线积分然后使用格林公式；法②. 通过斯托克斯公式及所围曲面的法向量将积分转换为第一类面积分来求解（先转换成第二类面积分，然后通过$dz=-\frac{\partial z}{\partial x}dx$转也行）
- 第19题，对离散变量求其矩估计需要写出其分布律表达式。
第五套
得分：135
- 第3题，反常积分的敛散性判别，有一个瑕点和一个无穷，所以要分成两部分进行判定。判定方法按照固定思路。
- 第5题，$A$不能相似对角化则$r(-E-A)\ne 1$，又因$r(-E-A)\ne 0$，$-1$是$A$的特征值一定会有对应的特征向量，即$r(-E-A)\ne 3$，故$r(-E-A)= 2$；$A-E$的三个特征值是$-2,-2,1$，故$|A-E|=\prod\lambda_i=4,r(A-E)=3$
- 第7题，两组基的转化：$[\beta_1…\beta_n]=[\alpha_1…\alpha_n]C$；两组基的坐标下的转化：$x=Cy$
- 第8题，几何分布和指数分布具有无记忆性，（相互独立的二项分布、相互独立的泊松分布、正态分布、卡方分布具有可加性）
- 第9题，设$A$表示该产品是次品，则由全概率公式：
- 第13题，两边同时积分
第16题：$P\{Φ(X)\ge \frac13\}=P\{X\ge Φ^{-1}(\frac13)\}=1-Φ[(Φ(\frac13))^{-1}]=1-\frac13=\frac23$
第21题：因为变换是正交变换，$x=Cy$，$||x||=x^Tx=y^TC^TCy=y^Ty=||y||$，因为$x^2_1+x_2^2+x_3^2=4$，则$||x||=||y||=2$，由第二问知$f(y_1,y_2,y_3)=9y_3^2$，则$f_{max}(x)=9×4=36$；然后通过$x=Qy$求出此时的$x_1,x_2,x_3$
