数一罗尔定理证明专题

一阶导数中值定理问题

可以直接看出来辅助函数的类型

（然后用罗尔定理）

①. $f(ξ)g’(ξ)+f’(ξ)g(ξ)=0,[f(x)g(x)]’=0$

②. $f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)=0\ (g(ξ)\ne 0),\big[\frac{f(x)}{g(x)}\big]’=0$

③. $f’(ξ)f(ξ)=0,[f^2(x)]’=0$

④. $f(ξ)+ξf’(ξ)=0,[xf(x)]’=0$

⑤. $\frac{f’(x)}{f(x)}=0$，$[\ln f(x)]’=0$

⑥. $f’(ξ)+\lambda f(ξ)=0,\ F(x)=e^{\lambda x}f(x)$

⑦. $\alpha f’(x)+\beta f(x)=0,F(x)=e^{\frac{\beta}{\alpha}x}f(x)$

⑧. $f’(ξ)+g’(ξ)f(ξ)=0,F(x)=e^{g(x)}f(x)$

⑨. $f’(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0,F(x)=e^{\int_a^x g(t)dt}f(x)$

⑩. $ξf’(ξ)+nf(ξ)=x^nf(x)$

不容易看出的一阶类型

①. $f’(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0$

微分方程法：当作微分方程来解，可以得到$f(x)e^{\int g(x)dx}=C$，则可以构造辅助函数$F(x)=f(x)e^{\int g(x)dx}$，然后用罗尔定理。

②. $f’(ξ)+g(ξ)f(ξ)=h(ξ)$

微分方程法：当做微分方程来解，可以得到$f(x)=e^{-\int g(x)dx}[\int h(x)e^{\int g(x)dx}dx+C]$，则可以构造辅助函数$F(x)=e^{\int g(x)dx}f(x)-\int h(x)e^{\int g(x)dx}dx$，然后用罗尔定理。

能用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的情况，一定能用罗尔定理。

二阶导数中值定理问题

多次使用罗尔定理类型

比较容易，在此略过。

直接积分得出辅助函数

比如这个题目：

第一问构造$F(x)=f(x)-x$，然后由$F(-1)=F(1)$使用罗尔定理即可。

第二问有两种构造方法：

可构造函数$G(x)=f’(x)+f(x)-x$
$f’’(x)+f’(x)=1$，通过微分方程解出，可得$f(x)=C_1+C_2e^{-x}+x$，$f’(x)=-C_2e^{-x}+1$,故可构造函数$H(x)=e^x[f’(x)-1]$

然后用罗尔定理。

其实两个构造函数之间是存在联系的，如果把2中的$f’(x)$代入$f(x)$中即可有$f(x)=C_1-f’(x)+x+1$，即$f’(x)+f(x)-x=C_1+1$，所以可以说第一种构造函数时通过消$C_1$实现的，第二种构造函数是通过消$C_2$实现的。

在这类题目中，一般情况下消$C_1$和消$C_2$后构造的函数都可以成功满足罗尔定理的条件，但是也要注意少数情况下，可能只有一种符合题意。