微波技术 第三章 微波传输系统

3.2 规则波导中的导行电磁波

3.2.1 分解麦克斯韦方程组

无源麦克斯韦方程组：

$$\nabla\cdot\vec E=0\quad\quad\quad \nabla\cdot\vec H=0\\ \nabla\times\vec E=-\mu\frac{\partial \vec H}{\partial t}=-j\omega\mu\vec H\quad\quad\quad \nabla\times\vec H=\epsilon\frac{\partial \vec E}{\partial t}=j\omega\epsilon\vec E$$

①. 分解$\nabla$算子

其中用到$\frac{\partial}{\partial z}→-j\beta$，假定电磁波沿z方向传播。

②. 分解电磁场幅度：

六个方程（通过上面的式子进行推导）：

解前两个方程将得到电磁场幅度横向分量与纵向分量的关系；

解后四个方程将得到描述电磁场幅度纵向分量的亥姆霍兹方程。

$$\nabla_TE_z×\hat z-j\beta \hat z×\vec{E_T}=-j\omega \mu \vec{H_T}\\ \nabla_TH_z\times \hat z-j\beta\hat z\times \vec{H_T}=j\omega\epsilon \vec{E_T}\\ \nabla_T\times \vec{E_T}=-j\omega\mu\hat zH_z\\ \nabla_T\times \vec{H_T}=j\omega\epsilon \hat zE_z\\ \nabla_T·\vec{E_T}=j\beta E_z\\ \nabla_T·\vec{H_T}=j\beta H_z$$

3.2.2 纵向分量与横向分量的关系

电磁场横向分量的表达式（推导：上面六个方程中的第二个左叉乘$\vec z$，然后与第一个联立）：

$$\vec {E_T}=-\frac{j\beta}{k_c^2}(\nabla_TE_z-\frac{\omega\mu}{\beta}\hat z×\nabla_TH_z)\\ \vec{H_T}=-\frac{j\beta}{k_c^2}(\nabla_TH_z+\frac{\omega\epsilon}{\beta}\hat z×\nabla_TE_z)$$

根据$\hat z×\nabla_TE_z=-\hat x\frac{\partial E_z}{\partial y}+\hat y\frac{\partial E_z}{\partial x}$，将电磁场横向分量写成矩阵的形式（推导）：

$$\left[\begin{matrix} E_x\\E_y\\H_x\\H_y \end{matrix}\right]=\frac1{k_c^2} \left[\begin{matrix} -j\beta&0&0&-j\omega\mu\\ 0&-j\beta&j\omega\mu&0\\ 0&j\omega\epsilon&-j\beta&0\\ -j\omega\epsilon&0&0&-j\beta \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \frac{\partial E_z}{\partial x}\\ \frac{\partial E_z}{\partial y}\\ \frac{\partial H_z}{\partial x}\\ \frac{\partial H_z}{\partial y} \end{matrix}\right]$$

其中$k=\omega\sqrt{\epsilon \mu}=\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi}{\lambda}$是电磁波在自由空间中传输的波数。

$\epsilon$和$\mu$分别表示介电常数和磁导率，$\lambda$是电磁波在自由空间中传输的波长。

$\beta=\frac{2\pi}{\lambda_g}$（相位常数）是电磁波在波导或传输线中传输的波数，$\lambda_g$是电磁波在波导中传输的波长。

$k_c=\sqrt{k^2-\beta^2}=\sqrt{\omega^2\epsilon\mu-\beta^2}=\frac{2\pi}{\lambda_c}$是电磁波在自由空间或波导中传输的截止波数。$\lambda_c$是截止波长。

自由空间中，$k=\beta,k_c=0$

$$k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\quad k_c=\frac{2\pi}{\lambda_c}\quad\quad \beta=\frac{2\pi}{\lambda_g}$$

依据具体的边界条件求解$E_z$和$H_z$，对应的模式如下：

3.2.3 纵向分量

亥姆霍兹方程组（推导：将横向分量$\vec E_T,\vec H_T$代入后四个表达式）：

$$\nabla^2_TE_z+k_c^2E_z=0\quad\quad\quad \nabla^2_TH_z+k_c^2H_z=0$$

根据波导的边界条件，可得$E_z$和$H_z$，再根据纵向分量与横向分量的关系得出$E_T$和$H_T$。

$$\vec a\times (\vec b\times \vec c)=\vec b(\vec a\cdot\vec c)-\vec c(\vec a\cdot\vec b)$$ $$\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)\equiv -\vec b\cdot(\vec a\times \vec c)$$

3.2.4 推导过程小结

电磁场各个分量的推导过程：

①. 将电磁场分解成横向分量$E_T、H_T$和纵向分量$E_z、H_z$；

②. 代入麦克斯韦方程组，转化成六个描述横向分量与纵向分量的方程；

③. 根据前两个方程得出电磁场横向分量与纵向分量的一般关系；

④. 代入余下四个方程，得出描述电磁场纵向分量的亥姆霍兹方程；

⑤. 根据波导的边界条件可得$E_z$和$H_z$，之后可得$E_T$和$H_T$。

3.3 矩形波导中的导行波

3.3.1 横电磁模（TEM模）

对于TEM​模，$E_z=H_z=0$，此时有

$$E_x=\frac{\omega\mu}{\beta}H_y=\frac{\beta}{\omega\epsilon}H_y\\ E_y=-\frac{\omega\mu}{\beta}H_x=-\frac{\beta}{\omega\epsilon}H_x$$

真空中$TEM$模的波阻抗为：

$$Z_{TEM}=\frac{\omega\mu}{\beta}=\frac{E_x}{H_y}=-\frac{E_y}{H_x}=\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}≈120\pi$$

在TEM模式下，

$$k_c^2=k^2-\beta^2=\frac{\omega^2}{v^2}-\beta^2=0\quad\quad \frac{\omega}{\beta}=v=\frac1{\sqrt{\mu\epsilon}}$$

波导不能传输TEM模。(为什么？[2020年考过])

原因：磁力线是闭合的，若要传输TEM模，需满足$H_z=0$，即磁场只能分布在X-Y平面上。根据麦克斯韦-安培定律：

$$\nabla×\vec H=\vec J+\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

可知轴向上的电流或者变换的电场将在$X-Y$平面上产生磁场。因为波导无源，所以$\vec J=0$。$\nabla×\vec H=\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$意味着z方向上的电场$E_z$产生X-Y平面上的磁场。又因为TEM波$E_z=0$，所以空心波导不能传输TEM模。

3.3.2 恒电模（TE模）

对于TE模，$E_z=0,H_z\ne 0$。TE模的场分量表达式为（推导…）：

$$\begin{aligned} E_x(x,y)&=\frac{j\omega\mu n\pi}{k_c^2b}A_{mn}\cos(\frac{m\pi x}{a})\sin(\frac{n\pi y}{b})\\ E_y(x,y)&=-\frac{j\omega\mu m\pi}{k_c^2a}A_{mn}\sin(\frac{m\pi x}{a})\cos(\frac{n\pi y}{b})\\ H_x(x,y)&=\frac{j\beta m\pi}{k_c^2a}A_{mn}\sin(\frac{m\pi x}{a})\cos(\frac{n\pi y}{b})\\ H_y(x,y)&=\frac{j\beta n\pi}{k_c^2b}A_{mn}\cos(\frac{m\pi x}{a})\sin(\frac{n\pi y}{b})\\ E_z(x,y)&=0\\ H_z(x,y)&=A_{mn}\cos(\frac{m\pi x}{a})\cos(\frac{n\pi y}{b}) \end{aligned}$$

其中$a,b$取决于边界条件，$m,n$的取值对应着$TE_{mn}$模的模式（$m,n$不能同时为0，否则全部的场分量都为零，这是没有意义的），$A_{mn}$为不确定的常数。

截止波数：

$$k_c=\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}$$

截止频率：

$$f_c=\frac{vk_c}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{\mu\epsilon}}\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}$$

相位常数：

$$\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}=\frac{2\pi}{v}\sqrt{f^2-f_c^2}=\sqrt{(\frac{2\pi f}{v})^2-(\frac{m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}$$

工作频率$f\gt f_c$，$\beta$是实数，微波信号可以在波导中传输；

工作频率$f\le f_c$，$\beta$是虚数，微波信号不能在波导中传输。

群速度：考虑到$\omega^2=\omega_c^2+\beta^2c^2$，则有$2\omega d\omega=2c^2\beta d\beta$，有

$$v_{gr}=\frac{d\omega}{d\beta}=\frac{\beta c^2}{\omega}=c\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}\le c$$

相速度：等相位面$(\omega t-\beta z=constant)$移动的速度：

$$v_p=\frac{dz}{dt}=\frac{\omega}{\beta}=c\frac{\lambda_g}{\lambda}=\frac{c}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}}\ge c$$ $$v_{gr}v_p=c^2$$

TE模的波阻抗：

$$Z_{TE}=\frac{E_x}{H_y}=-\frac{E_y}{H_x}=\frac{\omega\mu}{\beta}$$

3.3.3 $TE_{10}$模

$TE_{10}$模：$m=1,n=0$，其电磁场分量为：

$$\begin{aligned} E_x(x,y)&=0\\ E_y(x,y)&=-\frac{j\omega\mu \pi}{k_c^2a}A_{10}\sin(\frac{\pi x}{a})\\ H_x(x,y)&=\frac{j\beta \pi}{k_c^2a}A_{10}\sin(\frac{\pi x}{a})\\ H_y(x,y)&=0\\ E_z(x,y)&=0\\ H_z(x,y)&=A_{10}\cos(\frac{\pi x}{a}) \end{aligned}$$

截止波数和截止波长：

$$k_c=\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}=\frac{\pi}{a}\quad\quad\quad \lambda_c=2a$$

截止特性：$\lambda\le \lambda_c=2a$

相位常数：

$$\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}=\sqrt{k^2-(\frac{\pi}{a})^2}$$

$TE_{10}$模流过波导的平均功率为 （推导）：

$$P_T=\int_S \vec P_z·d\vec S=\frac{\omega\mu\beta a^3b}{4\pi^2}|A_{10}|^2$$

$TE_{10}$模的场分布

3.3.4 TM模

对于TM模，$E_z\ne 0,H_z= 0$。TM模的场分量表达式为（推导…）：

$$\begin{aligned} E_x(x,y)&=-\frac{j\beta m\pi}{k_c^2a}B_{mn}\cos(\frac{m\pi x}{a})\sin(\frac{n\pi y}{b})\\ E_y(x,y)&=-\frac{j\beta n\pi}{k_c^2b}B_{mn}\sin(\frac{m\pi x}{a})\cos(\frac{n\pi y}{b})\\ H_x(x,y)&=\frac{j\omega\epsilon n\pi}{k_c^2b}B_{mn}\sin(\frac{m\pi x}{a})\cos(\frac{n\pi y}{b})\\ H_y(x,y)&=-\frac{j\omega\epsilon m\pi}{k_c^2a}B_{mn}\cos(\frac{m\pi x}{a})\sin(\frac{n\pi y}{b})\\ E_z(x,y)&=B_{mn}\sin(\frac{m\pi x}{a})\sin(\frac{n\pi y}{b})\\ H_z(x,y)&=0 \end{aligned}$$

其中$a,b$取决于边界条件，$m,n$的取值对应着$TM_{mn}$模的模式（与$TE$模不同的是，$TM$需满足$m\ne 0$且$n\ne0$，否则场分量全为0，没有意义），$B_{mn}$为不确定的常数。

3.3.5 $TM_{11}$模

$TM_{11}$模是截止频率最低的$TM$模：$m=1,n=1$，其电磁场分量为：

$$\begin{aligned} E_x(x,y)&=-\frac{j\beta \pi}{k_c^2a}B_{11}\cos(\frac{\pi x}{a})\sin(\frac{\pi y}{b})\\ E_y(x,y)&=-\frac{j\beta \pi}{k_c^2b}B_{11}\sin(\frac{\pi x}{a})\cos(\frac{\pi y}{b})\\ H_x(x,y)&=\frac{j\omega\epsilon \pi}{k_c^2b}B_{11}\sin(\frac{\pi x}{a})\cos(\frac{\pi y}{b})\\ H_y(x,y)&=-\frac{j\omega\epsilon \pi}{k_c^2a}B_{11}\cos(\frac{\pi x}{a})\sin(\frac{\pi y}{b})\\ E_z(x,y)&=B_{11}\sin(\frac{\pi x}{a})\sin(\frac{\pi y}{b})\\ H_z(x,y)&=0 \end{aligned}$$

截止波数：

$$k_c=\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}=\sqrt{(\frac{\pi}{a})^2+(\frac{\pi}{b})^2}$$

相位常数：

$$\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}=\sqrt{k^2-(\frac{\pi}{a})^2-(\frac{\pi}{b})^2}$$

流过波导的平均功率：

$$P_T=\int_S\vec P_z·d\vec S=\frac{\beta\omega\epsilon a^3b^3}{8(a^2+b^2)\pi^2}|B_{11}|^2$$

3.3.6 矩形波导的简并模式与工作频段

简并模式：当$m\gt 0$和$n\gt 0$时，$TE_{mn}$模和$TM_{mn}$模有相同的截止频率，在同一频率$\omega$下，有相同的相位常数$\beta$，即为简并模式。

二者的截止频率均是：

$$f_c=\frac{vk_c}{2\pi}=\frac1{2\pi\sqrt{\mu\epsilon}}\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}$$

微波在波导中传输，工作频率$f$要高于截止频率$f_c$。用波长表示相位常数$\beta=\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}$，当工作波长$\lambda$小于某个模式的截止波长$\lambda_c$时，$\beta>0$，此模式可在波导中传输。

3.4 圆波导中的导行波

3.4.1 圆波导

极坐标下的亥姆霍兹方程（推导）：

$$\frac{\partial^2E_z}{\partialρ^2}+\frac1ρ\frac{\partial E_z}{\partial ρ}+\frac1{ρ^2}\frac{\partial^2E_z}{\partial\phi^2}+k_c^2E_z=0\\ \frac{\partial^2H_z}{\partialρ^2}+\frac1ρ\frac{\partial H_z}{\partial ρ}+\frac1{ρ^2}\frac{\partial^2H_z}{\partial\phi^2}+k_c^2H_z=0\\$$

将算符$\nabla_T^2$从直角坐标系转化到极坐标系：

$$\begin{aligned} \nabla_T^2&=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\\ &=\frac{\partial^2}{\partial ρ^2}+\frac1ρ\frac{\partial}{\partial ρ}+\frac1{ρ^2}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\\ &=\frac1ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial}{\partial ρ})+\frac1{ρ^2}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \end{aligned}$$

3.4.2 圆波导中的TE模

电磁场横向分量为：

$$\begin{aligned} E_ρ&=-\frac{j\omega\mu n}{k_c^2ρ}[A\cos(n\phi)-B\sin(n\phi)]J_n(k_cρ)\\ E_{\phi}&=\frac{j\omega\mu}{k_c}[A\sin(n\phi)+B\cos(n\phi)]J'_n(k_cρ)\\ H_ρ&=-\frac{j\beta}{k_c}[A\sin(n\phi)+B\cos(n\phi)]J'_n(k_cρ)\\ H_\phi&=-\frac{j\beta n}{k_c^2 ρ}[A\cos(n\phi)-B\sin(n\phi)]J_n(k_cρ) \end{aligned}$$

$TE_{nm}$模的传播常数为：

$$\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}=\sqrt{k^2-(\frac{p'_{nm}}{a})^2}$$

对应的截止频率为：

$$f_c=\frac{k_c}{2\pi \sqrt{\mu\epsilon}}=\frac{p'_{nm}}{2\pi a\sqrt{\mu\epsilon}}$$

波阻抗为：

$$Z_{TE}=\frac{E_{ρ}}{H_{\phi}}=-\frac{E_{\phi}}{H_ρ}=\frac{\omega\mu}{\beta}$$

3.4.3 圆波导中的TM模

电磁场横向分量为：

$$\begin{aligned} E_\rho&=-\frac{j\beta}{k_c}[A\cos(n\phi)+B\sin(n\phi)]J'_n(k_cρ)\\ E_{\phi}&=-\frac{j\beta n}{k_c^2 ρ}[A\cos(n\phi)-B\sin(n\phi)]J_n(k_cρ)\\ H_\rho&=\frac{j\omega\epsilon n}{k_c^2ρ}[A\cos(n\phi)-B\sin(n\phi)]J_n(k_cρ)\\ H_{\phi}&=-\frac{j\omega\epsilon}{k_c}[A\sin(n\phi)+B\cos(n\phi)]J'_n(k_cρ) \end{aligned}$$

$TM_{nm}$模的传播常数为：

$$\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}=\sqrt{k^2-(\frac{p_{nm}}{a})^2}$$

对应的截止频率为：

$$f_c=\frac{k_c}{2\pi \sqrt{\mu\epsilon}}=\frac{p_{nm}}{2\pi a\sqrt{\mu\epsilon}}$$

波阻抗为：

$$Z_{TM}=\frac{E_{ρ}}{H_{\phi}}=-\frac{E_{\phi}}{H_ρ}=\frac{\beta}{\omega\epsilon}$$