DSP 第五章：时域离散系统的网络结构

题型

①. 根据差分方程画直接型、并联型、级联型（级联型可能有多种，使用延时器少的更好）；

②. 根据流图写出系统函数和差分方程（可能会让写单位脉冲响应）；

③. 根据系统函数或系统函数的系数及$N$值画线性相位结构图；

5.1 引言

如果系统输入、输出服从N阶差分方程：

$$y(n)=\sum_{i=0}^Mb_ix(n-i)+\sum_{i=1}^Na_iy(n-i) \tag{5-1}$$

则其系统函数，即滤波器的传递函数为：

$$H(z)=\frac{\sum_{i=0}^Mb_iz^{-i}}{1-\sum_{i=1}^Na_iz^{-i}}\tag{5-2}$$ $$\begin{aligned} H(z) &=\frac{1}{1-3z^{-1}+2z^{-2}} //一个直接2阶网络结构\\ &=\frac{1}{2z^{-1}-1}·\frac{1}{z^{-1}-1} //两个1阶网络的级联结构\\ &=\frac{1}{z^{-1}-1}-\frac{2}{2z^{-1}-1} //两个1阶网络的并联结构 \end{aligned}$$

5.2 IIR网络结构

特点：含有反馈支路，即含有环路$’$；单位脉冲响应序列是无限长的$’’$。

差分方程：

$$y(n)=\sum_{k=0}^Mb_kx(n-k)+\sum_{k=1}^Na_ky(n-k)$$

系统函数：

$$\begin{aligned} H(z) &=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^Mb_kz^{-k}}{1-\sum_{k=1}^Na_kz^{-k}} \end{aligned}$$

5.2.1 IIR直接型网络结构

$$y(n)=\sum_{k=0}^Mb_kx(n-k)+\sum_{k=1}^Na_ky(n-k)$$ $$\begin{aligned} H(z) &=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^Mb_kz^{-k}}{1-\sum_{k=1}^Ma_kz^{-k}} \end{aligned}$$

注：上图有错误，应该将$a_1,a_2$前面的负号去掉。

5.2.2 IIR级联型结构

将滤波器系统函数$H(z)$的分子和分母分解为一阶和二阶实系数因子之积的形式。

5.2.3 IIR并联型结构

将滤波器系统函数$H(z)$展开成部分分式之和，每部分可以用一个一阶或二阶网络实现。

5.3 FIR网络结构

特点：没有反馈支路，即没有环路$’$；单位脉冲响应是有限长的$’’$。

差分方程：

$$y(n)=\sum_{k=0}^{N-1}h(k)x(n-k)$$

系统函数：

$$H(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}$$

一般称为长度为N，阶数为N-1的FIR滤波器。

5.3.1 FIR直接型结构

5.3.2 FIR级联型结构

5.3.3 线性相位结构

$0≤n≤N-1$

第一类线性相位条件：$h(n)=h(N-1-n)$ 偶对称

第二类线性相位条件：$h(n)=-h(N-1-n)$ 奇对称

（对称中心在$\frac{N-1}2$处）

当$N$为偶数时，

$$H(z)=\sum_{n=0}^{\frac N2-1}h(n)[z^{-n}\pm z^{-(N-1-n)}]$$

当$N$为奇数时，

$$H(z)=\sum_{n=0}^{\frac{N-1}2-1}h(n)[z^{-n}\pm z^{-(N-1-n)}]+h(\frac{N-1}2)z^{-\frac{N-1}2}$$

5.3.4 FIR频率采样结构

$$\begin{aligned} H(z)&=(1-z^{-N})\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}\frac{H(k)}{1-W_N^{-k}z^{-1}}\\ &=\frac1NH_c(z)\sum_{k=0}^{N-1}H_k(z) \end{aligned}$$

可以证明，子系统二的$N$个极点和子系统一（梳状滤波器）的$N$个零点相互抵消，从而在$N$个频率抽样点处的频率响应分别等于$H(k)$。

因此，频率采样结构是由一个梳状滤波器和$N$个一阶网络$H_k(z)$的并联结构进行级联而成：

频率抽样结构的修正：

$$H(z)=(1-r^Nz^{-N})\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}\frac{H_r(k)}{1-rW_N^{-k}z^{-1}} \ \ \ r<1且r≈1$$