数一高数 第七章：微分方程

一、常微分方程的基本概念

含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。

微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件、积分曲线

二、一阶微分方程

1. 可分离变量的方程

$$g(y)dy=f(x)dx\quad \\求解：两端积分$$

2. 齐次微分方程

$$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}x)$$ $$求解：令u=\frac yx，则y'=xu'+u,最终化为xu'=\varphi(u)-u(可分离变量的方程)$$

3. 一阶线性微分方程

$$y'+p(x)y=Q(x)$$ $$通解：y=e^{-\int p(x)dx}[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C]$$

注：当$P(x)$中没有无理常数因子，也没有偶数的分母时，$\int P(x)dx$积分中如果出现了$\ln$，可以直接不写绝对值（但是若$Q(x)$出现了$\ln$，绝对值该加还得加）。深入理解

4. 伯努利方程

$$y'+p(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$$

一般解法：令$u=y^{1-n}$，将原方程化为一阶线性微分方程。

5. 全微分方程

$$du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$ $$通解： u(x,y)=C$$ $$判定：\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

如果不确定给出的方程是哪种：

①. $x$与$y$对调 ；

②. 变量代换。

三、可降阶的高阶方程

（1） $y^{(n)}=f(x)$型的微分方程：直接多次积分；

（2） $y’’=f(x,y’)$型的方程：令$y’=p,y’’=p’$；

（3） $y’’=f(y,y’)$型的方程：令$y’=p,y’’=p\frac{dp}{dy}$。

四、高阶线性微分方程

1. 线性微分方程的解的结构

讨论二阶，可推广至高阶：

齐次：$y’’+p(x)y’+q(x)y=0$

非齐次：$y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)$

定理1：$y_1(x)$和$y_2(x)$是上述齐次方程的两个线性无关的特解，那么$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$就是其通解。

定理2：$y^\star$是上述非齐次方程的一个特解， $y_1(x)$和$y_2(x)$是对应齐次方程的两个线性无关的特解，那么$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^\star(x)$是非齐次方程的通解。

定理3：$y^\star_1(x)$和$y^\star_2(x)$是上述非齐次方程的两个特解，则$y(x)=y^\star_2(x)-y^\star_1(x)$是对应齐次方程的特解。

定理4：非齐次项具有叠加性。

2. 常系数齐次线性微分方程

讨论二阶，可推广至高阶：

$$y''+py'+qy=0$$

特征方程：$r^2+pr+q=0$

设$r_1,r_2$是特征方程的两个根：

①. 不等实根：$r_1\ne r_2$，$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$；

②. 相等实根：$r_1=r_2=r$，$y=e^{rx}(C_1+C_2x)$；

③. 共轭复根：$r_{1,2}=\alpha\pm i\beta$，$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$。

3. 常系数非齐次线性微分方程

讨论二阶，可推广至高阶：

$$y''+py'+qy=f(x)$$

①. $f(x)=P_m(x)e^{λx}$，$y^*=x^kQ_m(x)e^{λx}$

（$k$是特征方程含根$\lambda$的重复次数）

几个例子：

1. $f(x)=x+1$：

   • 通解$\lambda=0,0\to y^\star=x^2(Ax+B)$

   • 通解$\lambda=0,1\to y^\star=x(Ax+B)$

   • 通解$\lambda=1,1\to y^\star=(Ax+B)$

2. $f(x)=e^x$：

   • 通解$\lambda=0,0\to y^\star=Ae^x$

   • 通解$\lambda=0,1\to y^\star=Axe^x$

   • 通解$\lambda=1,1\to y^\star=Ax^2e^x$

3. $f(x)=(x+1)e^x$：

   • 通解$\lambda=0,0\to y^\star=(Ax+B)e^x$

   • 通解$\lambda=0,1\to y^\star=x(Ax+B)e^x$

   • 通解$\lambda=1,1\to y^\star=x^2(Ax+B)e^x$

②. $f(x)=e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)\cos\beta x+P_n^{(2)}(x)\sin \beta x]$，$y^*=x^ke^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos \beta x+R_m^{(2)}(x)\sin \beta x]$,$m=max\{l,n\}$

（$\alpha+i\beta$不是方程的特征根时，取$k=0$；反之$k=1$）

几个例子：

1. $f(x)=2\cos x-x\sin x$：

   • 通解$\lambda=\pm i\to y^\star=x[(Ax+B)\cos x+(Cx+D)\sin x]$

   • 通解$\lambda=\pm 2i\to y^\star=(Ax+B)\cos x+(Cx+D)\sin x$

2. $f(x)=e^x(2\cos x-x\sin x)$：

   • 通解$\lambda=\pm i\to y^\star=e^x[(Ax+B)\cos x+(Cx+D)\sin x]$

   • 通解$\lambda=1\pm i\to y^\star=xe^x[(Ax+B)\cos x+(Cx+D)\sin x]$

4. 欧拉方程

$$x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+...+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)$$

令$x=e^t$，则上式可化为：

$$x^ky^{(k)}=D(D-1)...(D-k+1)y$$

$D$代表对$t$求导数的运算，$D=\frac{d}{dt}$。

题型总结（强化）