数一线代 第一章：行列式
一、行列式的概念
行列式是一个数，是不同行不同列元素乘积的代数和。
矩阵代表一个表格。
三阶行列式（利用对角线法记忆）：
当行列式的元素中有较多的0时，用对角线法计算行列式的值比较简便。对角线法到四阶行列式失灵。
n阶行列式-完全展开式：
相关概念：逆序，逆序数，排列（偶排列，奇排列）
二、行列式的性质
$|A^T|$称为转置行列式。
性质1：经过转置行列式值不变：$|A|=|A^T|$。
由此可知行列式行的性质和列的性质是对等的。
性质2：两行（或列）互换位置，行列式的值变号。
特别地：两行（或列）相同，行列式的值为0。
性质3：某行（或列）如有公因式$k$，则可把$k$提出来。
特别地，某行（或列）的元素全为0，则行列式的值为0；
若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为0。
性质4：
性质5：
强化：
三、按行（列）展开公式
在$n$阶行列式
中划去$a_{ij}$所在的第$i$行，第$j$列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个$n-1$阶行列式，称为$a_{ij}$的余子式，记为$M_{ij}$；称$(-1)^{i+j}M_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式，记为$A_{ij}$，即
展开公式：n阶行列式等于它的任何一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和：
定理：行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0：
特殊情况：
①. 主对角
②. 副对角
③. （拉普拉斯展开式）如果$A$和$B$分别是$m$阶和$n$阶矩阵，则
④. 范德蒙行列式：
四、克拉默法则
若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组：
的系数行列式$|A|\ne 0$，则方程组有唯一解，且
其中
推论：若包含n个方程n个未知量的齐次线性方程组
的系数行列式$|A|\ne 0$的充要条件是方程组有唯一零解。
（逆否命题）反之，若齐次线性方程有非零解，充要条件是其系数行列式$|A|=0$。
技巧知识点
①. 行列式简化常用方法：
- 直接按行（列）展开
- 把第1行（列）的$k_i$倍加到第$i$行（列）
- 把每行（列）都加到第1行（列）
- 逐行（列）相加
②. 爪型行列式：①. 转化为上（下）三角行列式 （线代辅导讲义P11）②. 按第一行展开（李正元P344~P345）
③. 三对角线行列式：按第一列展开（有的题比较灵活，可能按其它列展开）（李正元P342~P343）
数学归纳法：
（1）验证$n=1$时命题$f_n$正确$\Rightarrow$假设$n=k$时命题$f_n$正确$\Rightarrow$证明$n=k+1$时，命题$f_n$正确
（2）验证$n=1$和$n=2$时命题$f_n$都正确$\Rightarrow$假设$n<k$时命题$f_n$正确$\Rightarrow$证明$n=k$时，命题$f_n$正确
④. 两个特殊$n$阶行列式的值：
