信号第二章：LTI系统的时域分析

2.1 CT LTI系统的时域分析

任意一个CT信号$x(t)$都可表示为加权、延迟单位冲激信号$\delta(t)$的叠加：

$x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$

描述CT LTI系统的数学模型是线性常系数微分方程：

$\sum_{k=0}^Na_k\frac{d^ky(t)}{dt^k}=\sum_{k=0}^Mb_k\frac{d^kx(t)}{dt^k}$

全响应$y(t)=$零输入响应$y_{zi}(t)+$零状态响应$y_{zs}(t)$=齐次解$y_h(t)$+特解$y_p(t)$

齐次解

常见的齐次解形式：

单实根：$C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}…$

2重实根：$(C_1t+C_2)e^{\lambda t}$

一对共轭复根：$e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)$

常见的特解形式：

$E$（常数）：$C$

$t$：所有特征根都不等于0时：$C_1t+C_2$；有r重等于0的特征根时：$t^r(C_1t+C_2)$

$t^2$：所有特征根都不等于0时：$C_1t^2+C_2t+C_3$；有r重等于0的特征根时：$t^r(C_1t^2+C_2t+C_3)$

$e^{at}$：a不等于特征根时：$Ce^{at}$；a等于单根：$(C_1t+C_2)e^{at}$；a等于2重根：$(C_1t^2+C_2t+C_3)e^{at}$

$\cos\beta t$或$\sin\beta t$：$C_1\cos\beta t+C_2\sin \beta t$

求解全响应可用卷积积分法：

$y_{zs}(t)=x(t)\star h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$

其中$h(t)$称为系统的单位冲激响应，可以表征系统时域特性。

单位冲激响应和单位阶跃响应

单位冲激响应：LTI系统中，初始状态为0（零状态）时，输入为$\delta(t)$引起的响应；

单位阶跃响应：LTI系统中，初始状态为0（零状态）时，输入为$u(t)$引起的响应；

两者关系：
$h(t)=\frac{ds(t)}{dt}\\ s(t)=\int_{-\infty}^th(x)dx=h(x)\star u(t)$

卷积：

①. 性质：

交换律、分配律、结合律

微分：

$\frac{d[x_1(t)\star x_2(t)]}{dt}=x_1(t)\star\frac{dx_2(t)}{dt}==x_2(t)\star\frac{dx_1(t)}{dt}$

积分：

$\int_{-\infty}^t[x_1(\lambda)\star x_2(\lambda)]d\lambda=x_1(t)\star\int_{-\infty}^tx_2(\lambda)d\lambda=x_2(t)\star\int_{-\infty}^tx_1(\lambda)d\lambda$ $x_1(t)\star x_2(t)=x'_1(t)\star\int_{-\infty}^tx_2(\tau)d\tau=\int_{-\infty}^tx_1(\tau)d\tau\star x'_2(t)$

②. 与$\delta(t)$和$u(t)$的卷积：

$x(t)\star\delta(t)=x(t)\quad\quad\quad\quad x(t)\star\delta(t-t_0)=x(t-t_0)\\ x(t)\star u(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau)d\tau\quad\quad\quad x(t)\star u(t-t_0)=\int_{-\infty}^{t-t_0}x(\tau)d\tau$ $u(t)\star u(t)=tu(t)\quad\quad\quad x(t)\star\delta'(t)=x'(t)$

③. 时移信号的卷积：

$x(t-t_1)\star h(t-t_2)=[x(t)\star\delta(t-t_1)]\star[h(t)\star \delta(t-t_2)]=y(t-t_1-t_2)$

2.2 DT LTI系统的时域分析

任意一个CT信号$x[n]$都可表示为加权、延迟单位样值序列$\delta[n]$的叠加：

$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]$

描述DT LTI系统的数学模型是线性常系数差分方程：

$\sum_{k=0}^Na_ky[n-k]=\sum_{k=0}^Mb_kx[n-k]$

全响应$y[n]=$零输入响应$y_{zi}[n]+$零状态响应$y_{zs}[n]=$齐次解$y_h[n]$+特解$y_p[n]$

齐次解

常见的齐次解形式：

单实根: $C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n…$

$2$重实根: $(C_1n+C_0)\lambda^n$

一对共轭复根$\lambda_{1,2}=a\pm jb=pe^{\pm j\beta}$: $p^n[(C\cos\beta n+D\sin \beta n)]$

常见的特解形式：

$n$: 所有特征根都不等于1，$D_1n+D_0$；$r$重特征根等于1：$n^r(D_1n+D_0)$

$a^n$: $a$不等于特征根，$Da^n$；$a$是$1$重特征根，$(D_1n+D_0)a^n$；$a$是$2$重特征根，$(D_2r^2+D_1r+D_0)a^n$

$\cos \beta n$或$\sin \beta n$：$P\cos \beta n+Q\sin\beta n$

求解全响应可用卷积和法：

$y_{zs}[n]=x[n]\star h[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]$

其中$h(t)$称为系统的单位样值响应序列。

单位样值响应序列和单位阶跃响应序列

单位序列响应：LTI离散系统的激励是$\delta[n]$时，系统的零状态响应；

单位阶跃响应：LTI离散系统的激励是$u[n]$时，系统的零状态响应；

两者关系：
$s[n]=\sum_{k=-\infty}^nh[k]=h[k]\star u[n]\\ h[n]=s[n]-s[n-1]$

卷积和：

①. 性质：

交换律、结合律、分配律

②. 与$\delta[n]$和$u[n]$的卷积：

$x[n]\star \delta[n]=x[n]\quad\quad\quad x[n]\star \delta[n-n_0]=x[n-n_0]\\ x[n]\star u[n]=\sum_{k=-\infty}^nx[k]\quad\quad\quad x[n-n_1]\star u[n-n_2]=\sum_{k=-\infty}^nx[k-n_1-n_2]$

2.3 零输入、零状态响应

零输入响应$y_{zi}(t)$：不考虑外加输入信号的作用，仅由系统的起始状态所产生的响应；

零状态响应$y_{zs}(t)$：不考虑系统起始状态的作用，即起始状态等于零，仅由系统的外加激励信号所产的响应。（通过冲激函数）

冲激函数匹配法（常用来求解0时刻有输入突变的零状态响应参数）：

①. 将输入$f(x)$代入微分方程，通过等号右端$\delta(t)$及其各阶导数，判断左端$y(t)$的最高阶数[对于二阶系统是$y’’(t)$]所含$\delta(t)$导数的最高阶次[例如为$\delta’’(t)$]

②. 令$y’’(t)=a\delta’’(t)+b\delta’(t)+c\delta(t)+r_0(t)$，对$y’’(t)$进行积分$(-\infty,t)$可求得$y’(t),y(t)$

③. 将$y’’(t),y’(t),y(t)$代入微分方程，根据$\delta(t)$及其各阶导数的系数相等来求出$y’’(t)$中的各待定系数

④. 分别对$y’(t),y’’(t)$等号两端从$0_-$到$0_+$进行积分，求得$y(0_+)$和$y(0_-)$

仅考虑特征根无重根的情况，系统响应的表示式为：

对CT系统