数电 第二章：逻辑代数基础
考纲：掌握逻辑代数的基本运算、基本定律和基本规则；掌握逻辑函数的标准形式；掌握逻辑函数的公式法化简方法和卡诺图化简方法；掌握逻辑函数的各种表示方法及其相互之间的转换。
2.1 逻辑代数的基本运算、公式和定理
2.1.1 逻辑代数的基本运算和复合运算
逻辑代数的基本运算有三种：与-$Y=A\cdot B$，或-$Y=A+B$，非-$Y=A’$
逻辑代数的复合运算：
与非：$Y=(A\cdot B)’$，或非：$Y=(A+B)’$，与或非：$Y=(A\cdot B+ C\cdot D)’$
异或：$A\oplus B=A\cdot B’+A’\cdot B$，同或：$A\odot B=A\cdot B+A’\cdot B’$
2.1.2 逻辑代数的基本公式
变量与常量间的运算规则：1、2、11、12
重叠率：3、13；
交换律：5、15；结合律：6、16；分配率：7、 17
- 反演律（德·摩根定理）：8、18
- 还原律：9
2.1.3 逻辑代数的基本定理
代入定理
在任何一个包含$A$的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中$A$的位置，等式依然成立。
反演定理
对于任一逻辑式$Y$，将其中所有的$”\cdot”$与$”+”$互换，$0$与$1$互换，原变量与反变量互换，则得到的结果就是$Y’$
注：①. 运算有限次数：先括号，后相乘，最后加
②. 不属于单个变量的反号应保留不变
对偶定理
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
对偶式：对于任一逻辑式$Y$，将其中所有的$”\cdot”$与$”+”$互换，$0$与$1$互换，得到一个新的逻辑式$Y^D$，称为$Y$的对偶式。
2.2 逻辑函数及其表示法
逻辑函数：逻辑变量为输入，运算结果为输出
表示方法：真值表、逻辑式、逻辑图、波形图、卡诺图（重点，在后面）
各表示方法之间可相互转换
2.3 逻辑函数的两种标准形式
逻辑函数的两种标准形式为：最小项之和与最大项之积
2.3.1 最小项和最大项
最小项：对于$n$变量逻辑函数，若$m$为包含$n$个因子的乘积项，且这$n$个变量均以原变量或反变量的形式在$m$中出现一次，则称$m$为该组变量的最小项。
$n$变量的最小项有$2^n$个
最小项的性质：
①. 在任意输入变量下，有且仅有一个最小项的值为1
②. 全体最小项之和为1
③. 任意两个最小项的乘积为0
④. 具有相邻性的两个最小项之和可合并，消去一对因子，只留下公共因子
相邻：仅一个变量不同的最小项
最大项：对于$n$变量逻辑函数，若$M$为$n$个变量之和，且这$n$个变量均以原变量或反变量的形式在$M$中出现一次，则称$M$为该组变量的最大项。
$n$变量的最大项有$2^n$个，n变量的最大项和最小项数目相等
最大项的性质：
①. 在任意输入变量下，有且仅有一个最大项的值为0
②. 全体最大项之积为0
③. 任意两个最大项的和为1
④. 只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和
最小项和最大项的关系：
2.3.2 两种标准形式
最小项之和形式：$\sum m_i$，（常利用公式：$A+A’=1$）
最大项之积形式：$\prod M_i$，（常利用公式：$AA’=0,A+BC=(A+B)(A+C)$）
2.4 逻辑函数的化简方法
逻辑函数的化简：消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以得到逻辑函数式的最简形式。
2.4.1 公式化简法
原理：反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。
常用方法：
①. 并项法：$AB+AB’=A$
②. 吸收法：$A+AB=A$
③. 消项法：$AB+A’C+BC=AB+A’C$
④. 消因子法：$A+A’B=A+B$
⑤. 配项法：$A+A=A\quad A+A’=1$
2.4.2 卡诺图化简法
用卡诺图表示任意一个逻辑函数：在卡诺图上最小项对应位置填入1，其它位置填入0
卡诺图化简法的步骤：
①. 将函数化为最小项之和的形式；
②. 画出表示该逻辑函数的卡诺图；
③. 找出可以合并的最小项；（2个、4个、8个相邻的可以合并）
④. 选取化简后的乘积项。
化简结果不是唯一的
选取的化简的乘积项应包含函数式中所有的最小项，所有的乘积项数目最少，每个乘积项包含的因子最少。
无关项在化简逻辑函数中的应用：
无关项包含约束项和任意项。从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形圈最大，矩形组合最少。
题型总结
