DSP 第六章：IIR数字滤波器的设计方法

题型

①. 设计巴特沃斯低通滤波器；

②. 通过脉冲响应不变法和双线性不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器；

③. 根据一些限制条件（低于、误差在…）判断模拟低通技术指标，并设计巴特沃斯低通滤波器，最后用脉冲响应不变法或双线性不变法进行转换。

6.1 数字滤波器的基本概念

数字滤波：对输入信号进行数值运算，让输入信号中的有用频率成分以较高的保真度通过， 滤除某些无用的频率成分，实现对输入信号的选频处理。

和模拟滤波器一样，数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。

注：数字滤波器频率响应的$2π$周期性；主值区间$[-π,π]$。

6.1.1 技术指标

$$H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}$$

$\omega_P$：通带边界频率；$\omega_S$：阻带截止频率。

$δ_1$：通带内允许的误差容限或通带的波纹幅度。

$δ_2$：阻带内允许的误差容限或阻带内的波纹幅度。

通带和阻带允许的衰减往往使用分贝数（dB）表示：

$α_p$：通带内允许的最大衰减；$α_p$越小，通带波纹越小，通带逼近误差越小。

$α_s$：阻带内允许的最小衰减。$α_s$越大，阻带波纹越小，阻带逼近误差越小。

分别定义为：

$$α_p=20lg\frac{|H(e^{j0})|}{|H(e^{j\omega_p})|}dB$$ $$α_s=20lg\frac{|H(e^{j0})|}{|H(e^{j\omega_s})|}dB$$

当幅度下降到$\sqrt 2/2=0.707$时，对应的$α_P=10lg2=3dB$，此时$\omega=\omega_c$称为$3dB$通带截止频率。

6.2 常用模拟滤波器的设计

6.2.1 模拟低通滤波器的设计

6.2.1.1 设计指标

$Ω_P$：通带边界频率；$Ω_S$：阻带截止频率；

$Ω_c$：$3dB$截止频率；$δ_1,δ_2$：通带和阻带波纹幅度。

$α_P=-10lg|H(e^{jΩ_P})|^2=-20lg(1-δ_1)$：通带最大衰减；（归一化之后）

$α_s=-10lg|H(e^{jΩ_s})|^2=-20lgδ_2$：阻带最小衰减。

损耗函数（衰减函数）：$A(Ω)=-20lg|H_a(jΩ)|=-10lg|H_a(jΩ)|^2dB$（归一化）

6.2.2 低通巴特沃斯滤波器

6.2.2.1 设计步骤

①. 根据技术指标$α_P,Ω_P,α_s,Ω_s$，求出滤波器阶数N。

$$λ_{sp}=\frac{Ω_s}{Ω_P}$$ $$k_{sp}=\sqrt{\frac{10^{a_s/10}-1}{10^{a_P/10}-1}}$$ $$N=\frac{lgk_{sp}}{lgλ_{sp}}$$

②. 根据：

$$p_k=e^{jπ(\frac12+\frac{2k+1}{2N})},k=0,1,...,N-1$$

求出归一化极点$p_k$，将$p_k$代入下式：

$$G_a(p)=\frac1{\prod_{k=0}^{N-1}(p-p_k)}$$

也可以根据阶数N直接查表得到$p_k$和$G_a(p)$

③. 将$G_a(p)$去归一化。将$p=s/Ω_c$代入$G_a(p)$，得到实际的滤波器系统函数

$$H_a(s)=G(p)|_{p=\frac s{Ω_c}}$$

$Ω_c$为$3dB$截止频率，如果题目中没有给出$Ω_c$，可以按照下面式子求出：

$$Ω_c=Ω_p(10^{0.1α_p}-1)^{-\frac 1 {2N}} \tag{1}$$ $$Ω_c=Ω_s(10^{0.1α_s}-1)^{-\frac 1 {2N}} \tag{2}$$

如果采用式$(1)$确定$Ω_c$，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余；

如果采用式$(2)$确定$Ω_c$，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余；

6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器

脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列$h(n)$的模仿模拟滤波器的冲激响应$h_a(t)$，即将$h_a(t)$进行等间隔采样，使$h(n)$正好等于$h_a(t)$的采样值，满足：

$$h(n)=h_a(nT)$$

式中，$T$是采样周期。

基本过程：

①. 对$h_a(t)$以等间隔$T$采样，得到$h_a(nT)$；

②. 将$h(n)=h_a(nT)$作为数字滤波器的单位脉冲响应；

③. 对$h(n)$进行$z$变换，得到数字滤波器的系统函数$H(z)$。

变换关系：

$$H_a(s)=\sum_{i=0}^{N-1}\frac{A_i}{s-s_i}\rightarrow H(z)=\sum_{i=0}^{N-1}\frac{A_i}{1-e^{s_iT}z^{-1}}\\ 极点转换：s_i\rightarrow e^{s_iT}$$

为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，修正：

$$h(n)=Th_a(nT)\rightarrow H(z)=\sum_{k=1}^N\frac{TA_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}}$$

6.4 双线性变化法设计IIR数字低通滤波器

采用正切变换实现频率压缩（预畸变校正）：

$$Ω=\frac 2 Ttan(\frac 1 2\omega)$$

将$s_1$的横带映射到整个$z$平面：

$$s=\frac 2T\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

计算：

系统函数：

$$H(z)=H_a(s)|_{s=\frac{2}T\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}=H_a(\frac{2}T\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}})$$

频率响应：

$$H(e^{j\omega})=H_a(jΩ)|_{Ω=\frac 2 Ttan(\frac 1 2\omega)}=H_a(j\frac 2 Ttan\frac{\omega}2)$$

6.5 用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器步骤

①. 确定数字低通滤波器的技术指标：

通带截止频率$\omega_p$、通带衰减$α_p$、阻带截止频率$\omega_s$、阻带衰减$α_s$。

②. 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标；

边界频率转换公式：

$$Ω=\omega/T , {脉冲响应不变法}\\ Ω=\frac 2Ttan{\frac12\omega},{双线性变换法}$$

采样间隔$T$的选择原则：
1）脉冲响应不变法：

a. 给定模拟滤波器$H_a(s)$，要求单向转换为$H(z)$，且$α_s$足够大时，尽量选择较小的$T$，使之满足$|Ω_s|<π/T$；

b. 当技术指标用数字滤波器给出时，$T$可任意选择。

2）双线性变换法：

一般选$T=2s$。

③. 按模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；

④. 将模拟滤波器$H_a(s)$从$s$平面转换到$z$平面，得到数字低通滤波器系统函数$H(z)$。