DSP 第三章：离散傅里叶变换

题型

①. 利用$DFT$离散傅里叶变换公式进行计算；

②. 计算两个序列的循环卷积；

③. 关于$DFT$一些性质和定理的证明；

④. 根据共轭对称反对称和实部虚部的关系求解函数的$DFT$或$IDFT$；

⑤. 根据线性卷积和循环卷积的关系求出线性卷积和循环卷积相等的范围，即线性卷积周期延拓无混叠的区域；

⑥. 利用$DFT$的性质（比如时移、频移、复共轭）来求解一些式子；

⑦. 用$DFT$对信号进行频谱分析时各参数的关系以及一些参数的选取原则。

3.1 引言

傅里叶变换的几种可能形式：

①. 时间连续、频域连续—傅里叶变换；
②. 时间周期连续、频域离散—傅里叶级数；
③. 时间离散、频域连续—序列的傅里叶变换；
④. 时间离散、频域离散—离散傅里叶变换。

时域—频域对应规律：

一个域的离散对应另一个域的周期延拓，一个域的连续必定对应另一个域的非周期。

DFT和DFS的区别：

DFS是周期性的（波浪号代表的是周期性），即离散傅里叶级数的系数是周期性的、无限多的，n~N-1只是拿出了一个周期来求级数的系数；

而DFT针对的是有限长序列，没有周期性，变换对象就只有这N个点。

3.2 DFT定义

$$x((n))_N=x(n \ mod \ N)=x(n_1)$$ $$\tilde x(n) = \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(n+rN)=x((n))_N$$

DFT定义

长度为$M$的有限长序列$x(n)$的$N(N>M)$点$DFT$定义：

正变换：

$$X(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \ \ \ \ 0\le k \le N-1$$

反变换：

$$x(n)=IDFT[X(k)]=\frac 1 N \sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk} \ \ \ \ 0\le n \le N-1$$

式中 $W_N=e^{-j\frac {2π}N}$

3.3 DFT基本性质

3.3.1 线性性质

$$DFT[ax_1(n)+bx_2(n)]=aX_1(k)+bX_2(k)$$

3.3.2 循环移位性质

将有限长序列$x(n)$以长度$N$延拓为周期序列，进行线性移位后，再取其主值序列值。

时域循环移位定理

设$x_m(n)$是长度为$N$的有限长序列$x(n)$的循环移位序列，即

$$y(n)=x((n+m))_NR_N(n)$$

则

$$Y(k)=DFT[y(n)]=W_N^{-mk}X(k)$$

频域循环移位定理

若

$$Y(k)=X((k+l))_NR_N(k) \ \ \ \ 0\le k\le N-1$$

则

$$y(n)=IDFT[Y(k)]=W_N^{nl}x(n)$$

3.3.3 循环卷积定理

时域循环卷积定理

设有限长序列$x_1(n)$和$x_2(n)$的长度分别为$N_1$和$N_2$，取点数$N\ge max(N_1,N_2)$，若$Y(k)=X_1(k)·X_2(k)$，则

$$\begin{aligned} y(n) &=IDFT[Y(k)]\\ &=[\sum_{m=0}^{N-1}x_1(m)x_2((n-m))_N]R_N(n)\\ &=[\sum_{m=0}^{N-1}x_2(m)x_1((n-m))_N]R_N(n)\\ \end{aligned}$$

其中$n=0,1,…,N-1$。

循环卷积结果长度不变。

频域循环卷积定理

若$y(n)=x_1(n)·x_2(n)$，则

$$\begin{aligned} Y(k) &=DFT[y(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}y(n)W_N^{nk}\\ &=\frac 1N[\sum_{l=0}^{N-1}X_1(l)X_2((k-l))_N]R_N(k)\\ &=\frac 1N[\sum_{l=0}^{N-1}X_2(l)X_1((k-l))_N]R_N(k) \end{aligned}$$

3.3.4 复共轭序列

$$DFT[x^*(n)]=X^*(N-k)$$ $$DFT[x^*(N-n)]=X^*(k)$$

3.3.5 DFT形式下的帕斯维尔定理

$$\sum_{n=0}^{N-1}x(n)y^*(n)=\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}X(k)Y^*(k)$$

当$y(n)=x(n)$时，则有

$$\sum_{n=0}^{N-1}|x(n)|^2=\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}|X(k)|^2$$

3.3.6 DFT共轭对称性

有限长序列的对称性

有限长共轭对称序列：$x_{ep}(n)=x^*_{ep}(N-n),0\le n\le N-1$；

有限长共轭反对称序列：$x_{op}(n)=-x^*_{op}(N-n),0\le n\le N-1$。

$N$为偶数时，除去原点，关于直线$n=N/2$点对称或反对称；

$N$为奇数时，除去原点，关于$N/2$坐标点对称或反对称。

$$x_{ep}(n)=\frac12[x(n)+x^*(N-n)]\\ x_{op}(n)=\frac12[x(n)-x^*(N-n)]$$

DFT共轭对称性

实序列DFT的共轭对称性

①. $X(k)$是共轭对称的，即$X(k)=X^*(N-k),0\le k\le N-1$；

②. 若$x(n)=x(N-n)$，即序列为实偶序列，则$X(k)=X(N-k)$，即$X(k)$是实偶对称；

③. 若$x(n)=-x(N-n)$，即序列为实奇对称，则$X(k)=-X(N-k)$，即$X(k)$为纯虚奇对称。

3.4 频域采样

频率采样定理

如果序列$x(n)$的长度为$M$，则只有当频域采样点数$N\ge M$时，才有

$$x_N(n)=IDFT[X(k)]=x(n)$$

即可由频域采样使$X(k)$恢复原序列$x(n)$，否则会产生时域混叠现象。

内插公式

$X(z)$的内插公式

$$\varphi_k(z)=\frac1N×\frac{1-z^{-N}}{1-W_N^{-1}z^{-1}}$$ $$X(z)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)\varphi_k(z)$$

$X(e^{j\omega})$的内插公式

$$\varphi(\omega-\frac {2π}{N}k)= \begin{cases} 1,&{\omega=\frac {2π}Nk=\omega_k}\\ 0,&{其它} \end{cases}$$ $$X(e^{j\omega})=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)\varphi(\omega-\frac{2π}{N}k)$$

频域采样定理说明，时间有限的信号，可对其频域采样而不丢失任何信息。

DFT离散傅里叶变换使得信号不仅在时域，而且在频域也离散化。

3.5 DFT的应用

3.5.1 用DFT计算线性卷积

循环卷积和线性卷积的关系：

$$y_c(n)=\sum_{q=-\infty}^{\infty}y_l(n+qL)R_L(n)$$

$L$点循环卷积$y_c(n)$是线性卷积$y_l(n)$以$L$为周期的周期延拓序列的主值序列。

只有循环长度$L\ge N+M-1$时，$y_l(n)$以$L$为周期进行周期延拓才无混叠现象，即此时有：$y_l(n)=y_c(n)$，循环卷积等于线性卷积。

3.5.2 用DFT对信号进行频谱分析

$T$- 时域采样间隔；$T_p$- 信号记录长度（分析时间）

$f_s$- 时域采样频率；$f_c$- 信号最高频率； $F$- 频率采样间隔（越小越接近连续谱）

$N$- 采样点数

$$f_s=NF=\frac 1T \ \ \ \ \ \ T_P=NT=\frac 1F \ \ \ \ \ \\ N=\frac {f_s}{F}=\frac {T_P}{T}\\ f_s\ge 2f_c$$

想兼顾高频分量$f_c$与频率分辨率$F$，即一个性能提高而另一个性能不变的唯一办法就是增加记录长度（采样点数）$T_P=NT$。

参数选择原则：

根据信号最高频率$f_c$和频谱分辨率$F$的要求，来确定$T、T_P$和$N$的大小。

$$f_s\ge 2f_c \ \ \ \ \ \ T=\frac 1{f_s}\le \frac 1{2f_c}\\ N=\frac {f_s}F\gt \frac{2f_c}F\\ T_P\ge \frac 1F$$

注：谱分辨率提高一倍的意思是$F$变为$F/2$！！