数一概率论 第八章：假设检验

概率论 第八章：假设检验

8.1 假设检验的基本概念

假设检验是对总体的分布类型或分布类型中的未知参数提出假设，然后根据抽取的样本构造适当的统计量，对假设的真伪做出判断。

8.1.1 假设检验问题

8.1.2 假设检验的基本思想

小概率原理：小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，如果发生了，就能确定一些问题。
显著性水平：小概率$P≤α$，$α$越小，显著性越高。

8.1.3 假设检验的一般步骤

①. 提出假设：

例如：

$$H_0: μ=μ_0， H_1: μ≠μ_0$$

其中$H_0$为原假设， $H_1$为备择假设。

②. 构造检验统计量，只有检验的参数未知，分布类型已知。

例如：

$$Z=\frac {\overline X -μ_0}{σ_0/\sqrt n}\sim N(0,1)$$

③. 对于给定的显著性水平，确定拒绝域。

例如：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n):|Z|≥z_{α/2}\}$$

上侧分位数$z_{α/2}$是拒绝原假设$H_0$与否的临界值；$W$为拒绝域。

④. 计算并作出判断，若样本观测值落入拒绝域$W$，则拒绝原假设$H_0$，否则不拒绝原假设（不拒绝并不代表接受）。

8.1.4 假设检验的两类错误

第一类错误：“弃真”，$P\{拒绝H_0|H_0为真\}≤α$。显著性水平$α$为犯第一类错误的最大概率。
第二类错误：“纳伪”，$P\{接受H_0|H_0不真\}=β$
$α$与$β$不能同时变大或者变小。

显著性检验：在讨论假设检验时， 只控制犯第一类错误的概率$α$，而不管犯第二类错误的概率大小， 称对应的$α$为显著性水平。

注：
①. 拒绝$H_0$是有说服力的，接受$H_0$是没有说服力的。$α$越小，说服力越强；接受$H_0$只能说是没有充分的理由拒绝$H_0$才接受的。
②. 原假设$H_0$和备择假设$H_1$并不是平等的。原假设是受保护的假设，因为只有有充分的理由才可以拒绝。
③. 提出假设时，应尽量使后果更严重的错误为第一类错误。因为第一类错误发生的概率可以被控制。

假设检验的三种基本形式：

双侧检验：

$$H_0: θ=θ_0, H_1: θ≠θ_0,$$

单侧检验：

1、右侧检验：

$$H_0: θ≤θ_0, H_1: θ＞θ_0,$$

2、左侧检验：

$$H_0: θ≥θ_0, H_1: θ＜θ_0,$$

8.2 正态总体参数的假设检验

8.2.1 单个正态总体参数的假设检验

对均值μ的假设检验

$σ^2=σ_0^2$已知

①.双侧检验

提出假设：

$$H_0: μ=μ_0， H_1: μ≠μ_0$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$Z=\frac {\overline X -μ_0}{σ_0/\sqrt n}\sim N(0,1)$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{|Z|≥z_{α/2}\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n):|Z|≥z_{α/2}\}$$

对于给定的样本$(X_1,X_2,…,X_n)$，若$(X_1,X_2,…,X_n)∈W$（等价于检验统计量满足条件：$|Z|≥z_{α/2}$），则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。

②. 单侧检验

（1）. 右侧检验

提出假设：

$$H_0: μ≤μ_0， H_1: μ＞μ_0$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$Z=\frac {\overline X -μ_0}{σ_0/\sqrt n}\sim N(0,1)$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{Z≥z_{α}\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n):Z≥z_{α}\}$$

（2）. 左侧检验

提出假设：

$$H_0: μ≥μ_0， H_1: μ＜μ_0$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$Z=\frac {\overline X -μ_0}{σ_0/\sqrt n}\sim N(0,1)$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{Z≤-z_{α}\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n):Z≤-z_{α}\}$$

$σ^2$未知

①. 双侧检验

提出假设：

$$H_0: μ=μ_0， H_1: μ≠μ_0$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$T=\frac {\overline X -μ_0}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{|T|≥t_{n-1}(α/2)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n):|T|≥t_{n-1}(α/2)\}$$

②. 单侧检验

（1）.右侧检验

提出假设：

$$H_0: μ≤μ_0， H_1: μ＞μ_0$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$T=\frac {\overline X -μ_0}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{T≥t_{n-1}(α)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n):T≥t_{n-1}(α)\}$$

（2）.左侧检验

提出假设：

$$H_0: μ≥μ_0， H_1: μ＜μ_0$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$T=\frac {\overline X -μ_0}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{T≤-t_{n-1}(α)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n):T≤-t_{n-1}(α)\}$$

对方差$σ^2$的假设检验

$μ$未知

①. 双侧检验

提出假设：

$$H_0:σ^2=σ_0^2, H_1:σ^2≠σ_0^2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$χ^2=\frac {(n-1)S^2}{σ_0^2}\sim χ^2_{n-1}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{χ^2≤χ^2_{n-1}(1-\frac α 2)或χ^2≥χ_{n-1}^2(\frac α 2)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n): χ^2≤χ^2_{n-1}(1-\frac α 2)或χ^2≥χ_{n-1}^2(\frac α 2)\}$$

②. 单侧检验

（1）.右侧检验

提出假设：

$$H_0:σ^2≤σ_0^2, H_1:σ^2＞σ_0^2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$χ^2=\frac {(n-1)S^2}{σ_0^2}\sim χ^2_{n-1}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{χ^2≥χ_{n-1}^2(α)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n):χ^2≥χ_{n-1}^2(α)\}$$

（2）.左侧检验

提出假设：

$$H_0:σ^2≥σ_0^2, H_1:σ^2＜σ_0^2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$χ^2=\frac {(n-1)S^2}{σ_0^2}\sim χ^2_{n-1}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{χ^2≤χ^2_{n-1}(1-α)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n): χ^2≤χ^2_{n-1}(1-α)\}$$

8.2.2 两个正态总体参数的假设检验

对均值$μ$的假设检验

$σ_1^2,σ_2^2$已知

①. 双侧检验

提出假设：

$$H_0: μ_1=μ_2， H_1: μ_1≠μ_2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$Z=\frac {\overline X-\overline Y}{\sqrt{\frac{σ^2_1}n+\frac{σ^2_2}m}}\sim N(0,1)$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{|Z|≥z_{\frac α 2}\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n;Y_1,Y_2,...,Y_m):|Z|≥z_{\frac α 2}\}$$

②. 单侧检验

（1）.右侧检验

提出假设：

$$H_0: μ_1≤μ_2， H_1: μ_1＞μ_2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$Z=\frac {\overline X-\overline Y}{\sqrt{\frac{σ^2_1}n+\frac{σ^2_2}m}}\sim N(0,1)$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{Z≥z_{α}\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n;Y_1,Y_2,...,Y_m):Z≥z_{α}\}$$

（2）.左侧检验

提出假设：

$$H_0: μ_1≥μ_2， H_1: μ_1＜μ_2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$Z=\frac {\overline X-\overline Y}{\sqrt{\frac{σ^2_1}n+\frac{σ^2_2}m}}\sim N(0,1)$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{Z≤-z_{α}\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n;Y_1,Y_2,...,Y_m):Z≤-z_{α}\}$$

$σ_1^2,σ_2^2$未知

①. 双侧检验

提出假设：

$$H_0: μ_1=μ_2， H_1: μ_1≠μ_2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$T=\frac {\overline X-\overline Y}{\sqrt{\frac{1}n+\frac{1}m}\sqrt{\frac {(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2}}}\sim t_{m+n-2}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{|T|≥t_{m+n-2}(\frac α 2)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n;Y_1,Y_2,...,Y_m):|T|≥t_{m+n-2}(\frac α 2)\}$$

②. 单侧检验

（1）.右侧检验

提出假设：

$$H_0: μ_1≤μ_2， H_1: μ_1＞μ_2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$T=\frac {\overline X-\overline Y}{\sqrt{\frac{1}n+\frac{1}m}\sqrt{\frac {(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2}}}\sim t_{m+n-2}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{T≥t_{m+n-2}(\frac α 2)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n;Y_1,Y_2,...,Y_m):T≥t_{m+n-2}(\frac α 2)\}$$

（2）.左侧检验

提出假设：

$$H_0: μ_1≥μ_2， H_1: μ_1＜μ_2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$T=\frac {\overline X-\overline Y}{\sqrt{\frac{1}n+\frac{1}m}\sqrt{\frac {(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2}}}\sim t_{m+n-2}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{T≤-t_{m+n-2}(α)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W=\{(X_1,X_2,...,X_n;Y_1,Y_2,...,Y_m):T≤-t_{m+n-2}(α)\}$$

对方差$σ^2$的假设检验

$μ_1,μ_2$未知

①. 双侧检验

提出假设：

$$H_0: σ_1^2=σ_2^2， H_1: σ_1^2≠σ_2^2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$F=\frac {S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n-1,m-1}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{F≤F_{n-1,m-1}(1-\frac α 2)或F≥F_{n-1,m-1}(\frac α 2)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W_1=\{(X_1,X_2,...,X_n;Y_1,Y_2,...,Y_m):F≤F_{n-1,m-1}(1-\frac α 2)或F≥F_{n-1,m-1}(\frac α 2)\}$$

②. 单侧检验

（1）.右侧检验

提出假设：

$$H_0: σ_1^2≤σ_2^2， H_1: σ_1^2＞σ_2^2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$F=\frac {S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n-1,m-1}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{F≥F_{n-1,m-1}(α)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W_1=\{(X_1,X_2,...,X_n;Y_1,Y_2,...,Y_m):F≥F_{n-1,m-1}(α)\}$$

（2）.左侧检验

提出假设：

$$H_0: σ_1^2≥σ_2^2， H_1: σ_1^2＜σ_2^2$$

当$H_0$成立时，检验统计量：

$$F=\frac {S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n-1,m-1}$$

对于给定的显著性水平$α$：

$$P\{F≤F_{n-1,m-1}(1-α)\}=α$$

原假设的拒绝域：

$$W_1=\{(X_1,X_2,...,X_n;Y_1,Y_2,...,Y_m):F≤F_{n-1,m-1}(1-α)\}$$