数一高数 第五章：定积分与反常积分

第一节 定积分

一、定积分的概念

1. 定积分的定义

定义：分割→求和→取极限。

$$\int_a^b f(x)dx=\lim_{λ→0}\sum_{i=1}^nf(ξ_i)△x_i$$

如果积分$\int_0^1f(x)dx$存在，就可将$[0,1]$区间$n$等分，此时$△x_i=\frac1n$，取$ξ_i=\frac in$，有：

$$\int_0^1 f(x)dx=\lim_{λ→0}\sum_{i=1}^nf(ξ_i)△x_i=\lim_{n→\infty}\frac1n\sum_{i=1}^nf(\frac in)$$

上式常用于求极限。

2. 定积分存在的充分条件

①. $f(x)$在$[a,b]$上连续；

②. $f(x)$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点；

③. $f(x)$在$[a,b]$上只有有限个第一类间断点。

3. 定积分的几何意义

所围图形的面积。

二、定积分的性质

1. 不等式性质

①. 若在区间$[a,b]$上$f(x)\le g(x)$，则$\int_a^bf(x)dx\le \int_a^b g(x)dx$；

特例，$f(x)=0$时，$g(x)\ge 0$，$\int_a^b g(x)dx\ge 0$

②. 若$M$及$m$分别是$f(x)$在$[a,b]$上的最大值和最小值，则：

$$m(b-a)\le \int_a^b f(x)dx \le M(b-a)$$

③. 若$f(x)$在$[a,b]$上的最大值、最小值为$M、m$，$g(x)\ge0$但不恒等于0，则：

$$m\int_{a}^bg(x)dx<\int_a^bf(x)g(x)dx<M\int_a^b g(x)dx$$

④. $|\int_a^b f(x)dx|\le \int_a^b|f(x)|dx$

2. 积分中值定理

①. 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则：

$$\int_a^b f(x)dx=f(ξ)(b-a)\quad (a\lt ξ\lt b)$$

平均值：$\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx$

②. 若$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，$g(x)$不变号，则：

$$\int_a^bf(x)g(x)dx=f(ξ)\int_a^bg(x)dx\quad (a\le ξ\le b)$$

3. 柯西积分不等式

$$\bigg(\int_a^b f(x)g(x)dx\bigg)^2\le \int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx$$

三、积分上限函数

变上限的积分：$\int_a^xf(t)dt$

四、定积分的计算

1. 牛顿-莱布尼茨公式

前提：$f(x)$在区间$[a,b]$上连续

$$\int_a^b f(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$$

2. 换元积分法

$$\int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$$

3. 分部积分法

$$\int_a^b udv=uv|_a^b-\int_a^b vdu$$

4. 利用奇偶性和周期性

定理（关于奇偶性）：

①. 连续函数$f(x)$是奇（偶）函数：

• $F(x)=\int_0^xf(t)dt$是偶（奇）函数
• $F(x)=\int_a^xf(t)dt$是偶函数（$a\ne 0,f(x)$是偶函数，$F(x)$不一定是奇函数）

②. 当$f(x)$为奇函数时，$f(x)$在$[-a,a]$的全体原函数均为偶函数；当$f(x)$为偶函数时， $f(x)$在$[-a,a]$只有唯一原函数为奇函数，即$\int_{0}^xf(t)dt$

周期函数的积分：

①. $\int_{0}^xf(t)dt$以$T$为周期的充要条件是$\int_0^Tf(t)dt=0$

②. 连续函数$f(x)$以$T$为周期，则$f(x)$的全体原函数以$T$为周期的充要条件是$\int_{0}^Tf(t)dt=0$

5. 利用已有公式

$$\int_0^{\fracπ2}\sin^nxdx=\int_0^{\fracπ2}\cos^nxdx=\begin{cases} \frac{n-1}n·\frac{n-3}{n-2}·...·\frac12·\fracπ2&,{n为正偶数}\\ \frac{n-1}n·\frac{n-3}{n-2}·...·\frac23&,{n为大于1的奇数} \end{cases}\tag{1}$$ $$\int_0^πxf(\sin x)dx=\fracπ2\int_0^πf(\sin x)dx\tag{2}（其中f(x)连续）$$ $$欧拉积分：\int_0^{\frac \pi2}\ln(\sin x)dx=\int_0^{\frac \pi2}\ln(\cos x)dx=-\frac \pi2\ln2$$

注意公式（2）：$xf(\cos x)$是不适用的，但$xf(\cos^2 x)$适用，用换元+分部积分法可证明。

第二节 反常积分

一、无穷区间上的反常积分

前提：$f(x)$在指定区间连续。

反常积分存在，则称收敛。

$$\int_a^{+\infty}f(x)dx \quad \int_{-\infty}^bf(x)dx\quad \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$$

二、无界函数的反常积分

$f(x)$在$a$点的任一邻域内都无界，那么点$a$称为函数$f(x)$的瑕点。 无界函数的反常积分也称为瑕积分。

$$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t→a^+}\int_t^bf(x)dx（a为f(x)的瑕点）$$ $$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t→b^+}\int_a^tf(x)dx（b为f(x)的瑕点）$$ $$\int_a^cf(x)dx和\int_c^bf(x)dx（c为f(x)的瑕点，a\lt c\lt b）$$

几个常用的反常积分：

$$\int_a^{+\infty}\frac1{x^p}dx\begin{cases} 收敛,&{p>1}\\ 发散.&{p\le 1} \end{cases}\quad a>0 \quad\quad \int_a^{+\infty}\frac1{x\ln^p x}dx\begin{cases} 收敛,&{p>1}\\ 发散.&{p\le 1} \end{cases}\quad a>1\\ \int_{a}^{+\infty}{x^ke^{-\lambda x}}dx\begin{cases} 收敛,&{\lambda>0}\\ 发散.&{\lambda\le 0} \end{cases}\quad k\ge 0 \quad\quad \int_{a}^b\frac1{(x-a)^p}dx\begin{cases} 收敛,&{p<1}\\ 发散.&{p\ge 1} \end{cases}\quad \quad\quad\quad\quad\quad$$

反常积分收敛的比较判别法：

前提：$f(x),g(x)$在$[a,+\infty]$连续非负（注意区间左侧为闭）

①. 比较原理：大收敛→小收敛，小发散→大发散

②. 比较原理的极限形式：

若$\lim_{x→+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l$，

• 当$0<l<+\infty$时，$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$和$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$敛散性相同；

• 当$l=0$时，$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$收敛，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$收敛；

• 当$l=+\infty$时，$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$发散，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$发散。

对于瑕积分：

设$f(x)$在$(a,b)$非负，且$x=a(或x=b)$是$f(x)$的瑕点且：

$$\lim_{x\to a+0}(x-a)^pf(x)=l(或\lim_{x\to b-0}(b-x)^pf(x)=l)$$

则当

$$p<1且0\le l\lt +\infty$$

时瑕积分$\int_a^b f(x)dx$收敛。

技巧知识点

①. 如果从$0$到$\fracπ2$积分，被积函数中只有$\sin x$和$\cos x$，那么$\sin x$和$\cos x$可以对调。

②. $Γ$函数：

$$Γ(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$ $$Γ(\frac12)=2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrtπ\quad\quad\quad Γ(n)=(n-1)!$$

③.

$$\int_{0}^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n!$$

④. 如下积分的值：

$$\int_0^{\pi或2\pi}f(\sin x或\cos x)dx$$

如果$f(x)$为偶函数，统统可写成$2$倍或$4$倍，若$f(x)$是奇函数，则只有$\int_{0}^\pi f(\sin x)dx=2\int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)dx$，其它积分均为$0$。

题型总结（强化）