通信原理 第九章：信道编码

信道编码的目的是提高系统数据传输的可靠性。

做法：增加编码的冗余度。

$$信码+监督码=发送的码字$$

9.1 基本概念

9.1.3 码距、最小距离

码矩： 两个等长码字之间的对应码位上的二进制码元不同，其不同码元位的个数称为码矩，用$d$表示。

最小距离：在一个码组集合中，许用码组两个码字之间距离的最小值，称为最小距离，用$d_{min}$表示。

最小距离与编码的检错、纠错能力之间的关系：

①. 检错：$d_{min}≥e+1$，$e$为检错的个数；

②. 纠错：$d_{min}≥2t+1$，$t$为纠错的个数；

③. 既检错又纠错：$d_{min}≥e+t+1，（e>t）$

编码效率、编码增益

编码效率：

编码序列的位数是$n$，其中包含的信息码元位数是$k$

$$η=\frac{k}n$$

$$R_b=R_s×\log_2M×η$$

编码增益：

在误码率一定的条件下，非编码系统需要的输入信噪比与采用了纠错编码的系统所需的输入信噪比之间差值$dB$数。

$$G(dB)=(\frac{E_b}{n_0})_{u}(dB)-(\frac{E_b}{n_0})_c(dB)$$

$E_{bu}$为编码前的比特能量，$E_{bc}$为编码后的比特能量。

9.2 几种常用的检错码

9.2.1 奇偶监督码

只有一个监督元的分组码。

包括：奇数监督码和偶数监督码。

在最低位增加一位信息位，使”1”的数目为偶数【偶数监督码】（奇数【奇数监督码】），监督元为1。

奇偶监督码都只能发现奇数个错误，不能发现偶数个错误。

9.3 线性分组码

9.3.1 基本概念

线性分组码中，监督码元和信息码元之间的关系可以用线性方程表示。

$(n,k)$线性分组码是从$2^n$个码字中根据监督关系选出$2^k$个许用码字。

9.3.2 性质

①. 封闭性（自闭律）：线性分组码中任意两个码字的线性组合仍然是分组码中的一个码字。

②. 全零码一定是线性分组码中的一个码字。

③. 线性分组码各码字之间的最小距离等于某非零码字的最小汉明重量。

9.3.3 监督矩阵

$H·A^T=0^T$或$A·H^T=0$

$H$就称为监督矩阵。

9.3.4 生成矩阵

$A=M^T·G$，$G$是生成矩阵。

①. G是k×n阶矩阵，该生成矩阵G的每行构成一行矢量，共k个行矢量。

②. 线性分组码的每个码字是生成矩阵G的各行矢量的线性组合。

③. G的每一行都是一个码字。

9.3.5 监督矩阵和生成矩阵的关系

$$H=[P·I_r]=[Q^T·I_r]\\ G=[I_k·Q]=[I_k·P^T]$$

具有上述形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。

9.3.6 伴随式（校正子）

发送码字：$A=[…]$，接收码字：$R=[…]$，信道误差：$E=[…]$

$$R=A\bigoplus E$$

$E$矩阵中哪位码元为$”1”$，就表示在接收码字$R$中对应位的码元出现了错误。

$$S=R·H^T$$

$S$为伴随式，校验矩阵$H$中数值与$S^T$相同的一列正式错误图样$E$中$”1”$的位置。

9.3.7 汉明码

最小码矩：$d_{min}=3$；纠错能力：$t=1$。

纠错能力为1的线性分组码中，汉明码的编码效率最高。

9.4 循环码

是线性分组码的一种。

循环性：循环码中任一许用码字经过循环移位之后，所得到的码字（码组）仍然是一许用码字。

9.4.1 码多项式

$$x^iA(x)\equiv A^{(i)}(x) \ \ \ \ (模x^n+1)$$

9.4.4 循环码的矩阵描述

上式中$G$是生成矩阵。

9.4.6 循环码的编码和译码

9.4.6.1 循环码的编码

若已知输入的信息码元$M=(m_{k-1},m_{k-2},…,m_1,m_0)$和生成多项式$g(x)$，就可以构成循环码，码多项式为：

$$A(x)=M(x)·g(x)=M(x)x^{n-k}+r(x)$$

监督码多项式：

$$r(x)=M(x)x^{n-k} \ \ \ [模g(x)]$$

系统码$A(x)$能被$g(x)$整除，这个性质可用于判决接收码字是否出错。

9.4.6.2 循环码的译码

解：

因为发送端采用的是$BPSK$调制，所以判决门限电平为$0$，故接收码字$R=\begin{matrix}[0&0&1&0&0&1&1]\end{matrix}$，由$g(x)=x^3+x+1$可得生成矩阵：

$$G=\left[ \begin{matrix} 1&0&1&1&0&0&0\\ 0&1&0&1&1&0&0\\ 0&0&1&0&1&1&0\\ 0&0&0&1&0&1&1 \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 1&0&0&0&1&0&1\\ 0&1&0&0&1&1&1\\ 0&0&1&0&1&1&0\\ 0&0&0&1&0&1&1 \end{matrix}\right]$$

从而可得监督矩阵：

$$H=\left[\begin{matrix} 1&1&1&0&1&0&0\\ 0&1&1&1&0&1&0\\ 1&1&0&1&0&0&1 \end{matrix}\right]$$

伴随式$S=AH^T$，则

$$S^T=HR^T=\left[\begin{matrix} 1\\ 0\\ 1 \end{matrix}\right]$$

故$E=\begin{matrix}[1&0&0&0&0&0&0]\end{matrix}$，发送端对应的信息码字$A=R+E=\begin{matrix}[1&0&1&0&0&1&1]\end{matrix}$。

题型

课后题

①. 判断$d_{min}$，从而得出检错、纠错、既检错又纠错的码数；

②. 写线性分组码的监督矩阵或生成矩阵，写所有许用码组；

③. 根据生成多项式$g(x)$写循环码的监督矩阵、生成矩阵；或根据一个码字写生成多项式；根据信息多项式求码多项式；画编码器原理框图。

$$r(x)=M(x)x^{n-k} \ \ \ [模g(x)]$$

答案：1、√ 2、√ 3、√ 4、√ $d_{min}>e$等同于$d_{min}\ge e+1$ 5、√ 6、× 奇偶监督码都只能检测奇数个错误 7、√ 8、× 校验位的最高次幂要比生成多项式的最高次幂低一位 9、× 全零码特殊情况

综合题目

数字通信系统的性能指标：信息传输速率，误码率；

影响因素：信号功率（$E_b/N_0$）、带宽；

实现手段：调制、编码方式。

上述各方面因素的相互制约关系：

①. 功率受限系统：发射功率一定，误码率要求一定的情况下，如何提高$R_b$？带宽↑，调制阶数↑，编码效率↑；

②. 带宽受限系统：如何提高$R_b$？功率↑，调制阶数↑，编码效率↓；

③. 调制编码方案确定的情况下如何提高$R_b$? 功率↑。

时分复用：$R_b=N·f_s·m$，$N$是时分复用路数，$f_s$是抽样频率，$m$是每个抽样点量化比特数；

信道编码：$R_c=R_b/η$，$R_c$为编码后的比特率，$R_B=R_c/\log_2M=R_b/(η·\log_2M)$；

基带波形选择：$B_{基带}=B_N(1+α)=\frac{R_B}2(1+α)$；

载波调制：

$$\begin{aligned} 矩形波：&B=B_{基带}\\ PSK,ASK,QAM：&B=2B_{基带}\\ MFSK：&B=2B_{基带}+(M-1)△f\\ MSK：&B=1.5R_B \end{aligned}$$

解:

因为是$A$律$13$折线编码，所以每个码元比特数$m=8$，$R_b=N·f_s·m=64k·N$；

每路信号进行$(7,4)$分组编码，则$η=4/7$，且复用信号做$16QAM$调制后传输，则

$M=16$,所以$R_B=R_b/(η·\log_2(M))=28k·N$；所以$B=2B_{基带}=2(1+α)\frac{R_B}{2}=(1+α)R_B=1MHz$，得$N≈24$

解：

已知$R_b=40kbps$，经由$(7,4)$线性分组码进行信道编码，则$η=4/7$，所以编码后的传码率$R_B=R_b/η=70kbps$；又因为是基带传输，没有进行调制，且使用的符号波形为占空比50%的双极性归零码，所以$B=1/τ=2/T_s=2R_B=140kHz$。

不归零码带宽$B=1/τ=1/T_s=R_B$