信号 第五章：采样、调制与通信系统

5.1 连续时间信号的时域采样定理

冲激串采样：

$$x_p(t)=x(t)p(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT)\delta(t-nT)$$

其中：

$$p(t)=\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)$$ $$P(j\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^\infty \delta(\omega-k\omega_s)\quad,\omega_s=\frac{2\pi}{T}$$

采样信号$x_p(t)$的频谱为：

$$X_p(j\omega)=\frac1{2\pi}X(j\omega)\star P(j\omega)=\frac1T\sum_{k=-\infty}^\infty X[j(\omega-k\omega_s)]$$

其中，$X(j\omega)$为原信号$x(t)$的频谱。

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连续时间信号的时域采样定理

采样过程中频谱不发生混叠的条件是：

①. 对$x(t)$为带限信号，即当$|\omega|>\omega_M$时，$X(j\omega)=0$

②. 抽样角频率$\omega_s=\frac{2\pi}{T}=2\pi F_s\ge 2\omega_M$，临界频率$\omega_s=2\omega_M$称为奈奎斯特抽样频率

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根据抽样序列$x_p(t)$恢复原信号：对$x_p(t)$进行截止频率为$\omega_c=\omega_s/2(\omega_s<\omega_c<\omega_s-\omega_M)$和通带增益为$T$的低通滤波可恢复原信号。

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用样值序列重建或表示连续信号：

假设低通滤波器的单位冲激响应为$h(t)$，以及系统的输出为$x_r(t)$，可得重建信号的内插公式为：

$$x_r(t)=x_p(t)\star h(t)=[\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT)\delta(t-nT)]\star h(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT)h(t-nT)$$

上式表明可由某一基本信号$h(t)$的移位信号$h(t-nT)$的线性组合来重建信号，线性组合中的加权系数为信号的样值序列。

选择不同的低通滤波器就可获得不同的内插公式。当$h(t)$为理想滤波器时的情况下， 重建方法称为带限内插，此时：

$$h(t)=\frac{\omega_cT}{\pi}Sa(\omega_ct)$$

内插公式为：

$$x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT)\frac{\omega_c T}{\pi}Sa[\omega_c(t-nT)]$$

对于带限内插而言，只要$x(t)$是带限的，且采样频率又满足采样定理，就可以实现信号的真正重建。

零阶保持采样

$$h_0(t)=\begin{cases} 1&,{0<t<T}\\ 0&,其它 \end{cases}\rightarrow H_0(j\omega)=\frac{2\sin \omega\frac T2}{\omega}e^{-j\omega\frac T2}$$

5.2 欠采样和频谱混叠

欠采样：采样频率不够高，$\omega_s<2\omega_M$，这时频域会发生频谱混叠现象。

欠采样所导致的频谱混叠现象：高频映射为低频，相位倒置。

5.3 离散时间信号的时域采样定理

脉冲串序列采样：

$$x_p[n]=x[n]p[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty x[kN]\delta[n-kN]=\begin{cases}x[n]&,{n=N的整倍数}\\0&,{其它} \end{cases}$$

其中：

$$p[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty\delta[n-kN]$$ $$P(e^{j\omega})=\frac {2\pi}N\sum_{k=-\infty}^\infty \delta(\omega-k\omega_s)\quad,\omega_s=\frac{2\pi}N$$

采样信号$x_p[n]$的频谱为：

$$X_p(e^{j\omega})=\frac1{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\theta})P(e^{j(\omega-\theta)})d\theta=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1} X[e^{j(\omega-k\omega_s)}]$$

其中，$X(e^{j\omega)}$为原信号$x[n]$的频谱。

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离散时间信号的时域采样定理：采样过程中频谱不发生混叠的条件是

①. 对$x[n]$为带限信号，即当$\omega_M<|\omega|<\pi$时，$X(e^{j\omega})=0$

②. 抽样角频率$\omega_s=\frac{2\pi}{N}\ge 2\omega_M$

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根据抽样序列$x_p[n]$恢复原信号： 对$x_p[n]$进行截止频率为$\omega_c=\omega_s/2(\omega_s<\omega_c<\omega_s-\omega_M)$和通带增益为$N$的低通滤波可恢复原信号。

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用样值序列重建或表示离散信号：

假设低通滤波器的单位冲激响应为$h[n]$，以及系统的输出为$x_r[n]$，可得重建信号的内插公式为：

$$x_r[n]=x_p[n]\star h[n]=\Big[\sum_{k=-\infty}^\infty x[kN]\delta[n-kN]\Big]\star h[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty x[kN]h[n-kN]$$

上式结果与连续时间情况一致，线性组合中的加权系数为信号的样值序列。

选择不同的低通滤波器就可获得不同的内插公式。当$h(t)$为理想滤波器时的情况下， 重建方法称为带限内插，此时：

$$h[n]=\frac{\omega_cN}{\pi}Sa(\omega_cn)$$

当$h[n]$为理想滤波器时， 即带限内插的情况，内插公式为：

$$x_r[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty x[kN]\frac{\omega_c N}{\pi}Sa[\omega_c(n-kN)]$$

对于带限内插而言，只要$x[n]$是带限的，且采样频率又满足采样定理，就可以实现信号的真正重建。

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序列的抽取与内插：

序列的抽取（减采样）：$x_s[n]=x_p[nN]=x[nN]$

$x_s[n]$的频谱与$x_p[n]$的频谱的关系：$X_s(e^{j\omega})=X_p(e^{j\omega/N})$，频谱扩展$N$倍

序列的内插（增采样）：对序列$x_s[n]$内插$N-1$个零点后，通过一低通滤波$H(e^{j\omega})$形成序列$x[n]$的过程

在$|\omega|\le\pi$内，内插序列$x[n]$的频谱是将$x_s[n]$频谱收缩$N$倍

5.4 连续时间LTI系统的离散实现

连续时间信号$x(t)$的频谱$X(j\omega)$与$x(t)$的抽样序列$x[n]=x(nT)$的频谱$X(e^{j\omega})$的关系：

$$X(e^{j\omega})=\frac1T\sum_{k=-\infty}^\infty X(j\frac{\omega-2k\pi}{T})\quad\quad\quad X(j\omega)=TX(e^{j\omega T})$$

注：模拟角频率$Ω$和数字角频率$\omega$的关系：$\omega=Ω T$，其中$T$为奈奎斯特采样间隔。

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连续时间LTI系统的离散时间实现方式：

①. 采样：连续时间输入信号→离散时间输入信号

②. 离散时间系统：完成具体任务所需的变换或运算

③. 重建：离散时间输出信号→连续时间输入信号

5.5 正弦载波幅度调制与频分复用

双边带正弦载波幅度调制与同步解调：

调制实现方式：$y(t)=x(t)\cos\omega_ct$

调制信号频谱$Y(j\omega)$与$X(j\omega)$的关系为：

$$Y(j\omega)=\frac12\{X[j(\omega-\omega_c)]+X[j(\omega+\omega_c)]\}$$

同步解调的实现：先对调制信号再做一次调制，然后进行低通滤波

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频分复用：

调制实现方式：$w(t)=\sum_{k=1}^Nx_k(t)\cos(\omega_kt)$

解调方式：带通滤波，然后按各调制频率进行解调，最后通过低通滤波

5.6 脉冲幅度调制

自然采样与时分复用：

自然采样的脉冲幅度调制方式：$y(t)=x(t)c(t)$，其中$c(t)$为周期的矩形脉冲序列。

时分复用的实现方式：周期的矩形脉冲$c(t)$的周期远大于每个脉冲的宽度，利用相邻脉冲之间的间隙实现时分复用。

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平顶采样形式的脉冲幅度调制：

与自然采样不同的是，它传输的总是调制信号$x(t)$的样本值，而不是$△$间隙内的信号。它是用样本$x(nT)$去调制周期脉冲信号的幅度，其形成的已调信号实际上就是离散时间信号的物理表现形式。

题型总结（强化）