数一高数第三章：微分中值定理及导数应用

一、微分中值定理

费马定理

设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值，那么$f’(x_0)=0$

罗尔定理

如果$f(x)$满足以下条件：

在闭区间$[a,b]$连续
在开区间$(a,b)$可导
$f(a)=f(b)$

则在$(a,b)$内至少存在一点$ξ$，使得$f’(ξ)=0$

强化：①. 一般的，闭区间连续，开区间$n$阶可导，在闭区间中不同的$n+1$个点取相同的函数值，则$\exists ξ∈(a,b)$使得$f^{(n)}(ξ)=0$。

②. 一般的，闭区间连续，开区间n阶可导，若$f^{(n)}(x)$在$(a,b)$无零点，则$f(x)$在$(a,b)$上至多有$n$个不同的零点。

拉格朗日中值定理

如果$f(x)$满足以下条件：

在闭区间$[a,b]$连续
在开区间$(a,b)$可导

则在$(a,b)$内至少存在一点$ξ$，使得：

$f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)$

推论：如果在$(a,b)$内恒有$f’(x)=0$，则在$(a,b)$内$f(x)$为常数。

柯西中值定理

如果$f(x)$，$F(x)$满足以下条件：

在闭区间$[a,b]$连续
在开区间$(a,b)$可导
$F’(x)$在$(a,b)$内每一点处均不为零

则在$(a,b)$内至少存在一点$ξ$，使得：

$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(ξ)}{F'(ξ)}$

皮亚诺型余项泰勒公式

如果$f(x)$在点$x_0$有直至$n$阶的导数，则有

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac1{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac1{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]$

称$R_n(x)=o(x-x_0)^n$为皮亚诺型余项，若$x_0=0$，则得麦克劳林公式。

拉格朗日型余项泰勒公式

设函数$f(x)$在含有$x_0$的开区间$(a,b)$内有$n+1$阶的导数，则当$x∈(a,b)$时有

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac1{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac1{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中：

$R_n(n)=\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

这里$ξ$介于$x_0$与$x$之间，称为拉格朗日型余项。

几个常用的泰勒公式（拉格朗日型余项）：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}\tag{1}$ $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+(-1)^n\frac{cos\theta x}{(2n+1)!}x^{2n+1}\tag{2}$ $cosx=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n!}+(-1)^{n+1}\frac{cos\theta x}{(2n+2)!}x^{2n+2}\tag{3}$ $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}n+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}\tag{4}$ $(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+...+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n)}{(n+1)!}(1+\theta x)^{\alpha -n-1}x^{n+1}\tag{5}$

以上$\theta$满足$\theta ∈(0,1)$

二、导数应用

1. 函数的单调性

$f’(x)>0$单调递增，$f’(x)<0$单调递减

2. 函数的极值

极大值，极小值，极值点。

导数为零的点称为函数的驻点。

极值的必要条件：设$y=f(x)$在点$x_0$处可导，如果$x_0$为$f(x)$的极值点，则$f’(x_0)=0$

极值的第一充分条件：设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内可导，且$f’(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$点连续），

若$x<x_0$时， $f’(x)>0$，若$x>x_0$时，$f’(x)<0$，则$x_0$为$f(x)$的极大值点；
若$x\lt x_0$时， $f’(x)\lt 0$，若$x\gt x_0$时，$f’(x)\gt 0$，则$x_0$为$f(x)$的极小值点；
若$f’(x)$在$x_0$的两侧同号，则$x_0$不为$f(x)$的极值点。

极值的第二充分条件：如果$f’(x_0)=0$，看$f’’(x)$，$f’’(x)<0$极大值点，$f''(x)>0$极小值点，$f’’(x)=0$不能判定。

3. 函数的最大值与最小值

略

4. 曲线的凹凸性

凹凸性

定义：设函数$f(x)$在区间$I$上连续，恒有

$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)<f(x)$

特别地有：$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

则称$f(x)$在$I$上的图形是凹的；如果恒有

$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)>f(x)$

特别的有：$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

则称$f(x)$在$I$上的图形是凸的。

定理：$f’’(x)>0$凹，$f’’(x)<0$凸。

拐点

连续弧上凹与凸的分界点。

拐点的必要条件：设$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点，则$f’’(x_0)=0$

拐点的第一充分条件：设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内二阶可导，且$f’’(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续），若$f’’(x)$在$x_0$的左、右两侧异号，则点$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点。

拐点的第二充分条件：如果$f’’(x_0)=0$，看$f’’’(x_0)$，若$f’’’(x_0)\ne 0$，则该点为拐点。

5. 曲线的渐近线

分为水平、垂直、斜渐近线：

水平渐近线：$\lim_{x→\infty}f(x)=A$，则$y=A$为水平渐近线；

垂直渐近线：$\lim_{x→x_0}f(x)=\infty$，则$x=x_0$为垂直渐近线；

斜渐近线：$\lim_{x→\infty}\frac{f(x)}x=a\ (a\ne 0)$且$\lim_{x→\infty}(f(x)-ax)=b$，那么$y=ax+b$是斜渐近线。

为求$y=f(x)$的水平或斜渐进线，需要分别考察下列极限：
$\lim_{x\to +\infty}f(x)\quad\lim_{x\to-\infty}f(x)或\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\quad \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}$
若$\lim_{x\to +\infty}f(x),\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$之一存在，就不必再考察另一极限；对于$x\to-\infty$也是如此。

6. 曲线的弧微分与曲率

定义：设$y=f(x)$在$(a,b)$内有连续导数，则有弧微分：

$ds=\sqrt{1+y'^2}dx$

定义：设$y=f(x)$有二阶导数，则有曲率：

$K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$

称$ρ=\frac1K$为曲率半径。

设曲线的参数方程为$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=ψ(t) \end{cases}(t∈[\alpha,\beta])$，$\varphi(t)$和$ψ(t)$在$[\alpha,\beta]$有二阶导数，则

$K=\frac{|ψ''(t)\varphi'(t)-\varphi''(t)ψ'(t)|}{[\varphi'^2(t)+ψ'^2(t)]^{3/2}}$

曲率圆，曲率中心

技巧知识点

①. 利用函数$y=f(x)$的一二阶导数讨论其单调性与极值点，以及图形的凹凸性与拐点和渐近线，系统步骤为：

确定$y=f(x)$的定义域与间断点
考察$f(x)$的特性，如奇偶性，周期性等
求一阶导数$f’(x)$，并求出$f’(x)=0$和$f’(x)$不存在的点，以确定单调区间和、极值点和极值
求二阶导数$f’’(x)$，并求出$f’’(x)=0$和$f’’(x)$不存在的点，以确定凹凸区间和拐点
列表
求渐近线

②. 最值点处的导数性质：设$f(x)$在$[a,b]$可导，则$f(x)$在$[a,b]$必存在最大和最小值，

若$f(x)$在$x=c∈(a,b)$取最大或最小值，则$f’(c)=0$
若$f(x)$在$x=a$处取$[a,b]$上最大（最小）值，则$f’_+(a)\le 0(\ge 0)$
若$f(x)$在$x=b$处取$[a,b]$上最大（最小）值，则$f’_-(b)\ge 0(\le 0)$

③. 导函数的中间值定理：设$f(x)$在$(a,b)$可导，$\forall x_1,x_2∈(a,b)$，若$x_1\ne x_2$且$f’(x_1)\ne f’(x_2)$，则对于任何介于$f’(x_1)$和$f’(x_2)$之间的中间值$c$，必存在介于$x_1$和$x_2$之间的$\xi$使得$f’(\xi)=c$.

④. 对于可导函数，可以证明：若$(x_0,f(x_0))$是$y=f(x)$的拐点, 则$x=x_0$不可能是$f(x)$的极值点。但如果$f(x)$在$x=x_0$不可导，则$(x_0,f(x_0))$可同时是$f(x)$的极值点和拐点（这时候只需要考虑$x=x_0$两侧的$f’(x),f’’(x)$是否变号，来判断是否是极值点和拐点）