DSP 第二章：时域离散信号与系统的频域分析

DSP 第二章 时域离散信号和系统的频域分析

题型

①. 利用序列的傅里叶变换的性质（时移、频移、帕斯维尔）来算一些东西；

②. 利用序列的傅里叶变换和逆变换两个公式计算一些东西；

③. 利用序列的傅里叶变换的对称性质给出$h_e(n)$或$h_o(n)$计算$h(n)$和$H(e^{j\omega})$；

④. 利用周期函数的离散傅里叶级数和傅里叶变换两个公式进行计算；

⑤. 根据模拟信号$x_a(t)$求其本身和采样信号$\hat x_a(t)$和序列$x(n)$的傅里叶变换（四个公式）；

⑥. 利用z变换定义式求序列的z变换，并写出收敛域；

⑦. 利用留数法配合留数辅助定理求解逆z变换；

⑧. 利用Z变换法求解差分方程（注意单边和双边求解的一点点区别）；

⑨. 求解差分方程的系统函数，画极点、零点分布图，在因果和稳定条件下的收敛域以及单位脉冲响应；

⑩. 频率响应的几何确定法（距零点长度的乘积除以距极点长度的乘积）。

2.1 引言

傅里叶变换：连续信号可表示为具有不同角频率的复指数信号的组合。

$X_n(jΩ)$称为$x_n(t)$的频谱，描述了这些复指数信号的振幅和初相位。

2.2 序列的傅里叶变换

2.2.1 $DTFT$定义

DTFT：Discrete-time Fourier transform，离散时间傅里叶变换。

序列$x(n)$的离散时间傅里叶变换$DTFT$定义为：

$$X(e^{j\omega})=DTFT[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}$$

序列$x(n)$的$DTFT$存在的充分条件为：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|<\infty$$

绝对可和$\rightarrow$平方可和

之所以是充分条件的原因是如果不满足绝对可和，但是序列为周期性的，可以展开为傅里叶级数。（2.3节）

一个稳定的序列都是绝对可和的，因此稳定的序列都有$DTFT$，从而任何稳定的系统都有有限且连续的频率响应。

$X(e^{j\omega})$的离散时间傅里叶反变换$IDTFT$：

$$x(n)=IDTFT[X(e^{j\omega})]=\frac 1{2π}\int_{-π}^πX(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$$

由上式可以看出，序列$x(n)$可表示成频率在$2π$区间范围内无限个复正弦的叠加，由$X(e^{j\omega})$确定每一个复正弦分量的相对大小。

2.2.2 $DTFT$的性质

2.2.2.1 周期性

周期为$2π$，通常取$-π≤\omega≤π$或$0≤\omega≤2π$进行分析。

$0$和$2π$附近表示信号的低频成分；
$±π$附近表示信号的高频成分。

2.2.2.2 线性

$$ax_1(n)+bx_2(n)\stackrel {DTFT}\leftrightarrow aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega})$$

2.2.2.3 时移与频移

$$x(n-n_0)\stackrel {DTFT}\leftrightarrow e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})$$ $$e^{j\omega_0 n}x(n)\stackrel {DTFT}\leftrightarrow X(e^{j(\omega -\omega_0)})$$

2.2.2.4 翻转

$$x(-n)\stackrel {DTFT}\leftrightarrow X(e^{-j\omega})$$

2.2.2.5 共轭

$$x^{\star}(n)\leftrightarrow X^{\star}(e^{-j\omega})$$

共轭翻转：

$$x^{\star}(-n)\leftrightarrow X^{\star}(e^{j\omega})$$

如果序列为实序列：$x(-n)\stackrel {DTFT}\leftrightarrow X^{\star}(e^{j\omega})=X(e^{-j\omega})$。

2.2.2.6 频域微分

$$nx(n)\stackrel {DTFT}\leftrightarrow j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega}$$

2.2.2.7 卷积定理

①. 时域卷积定理

$$y(n)=x(n)\star h(n)\stackrel {DTFT}\leftrightarrow X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$$

②. 频域卷积定理

若$y(n)=x(n)h(n)$，则有：

$$Y(e^{j\omega})=\frac 1{2π}X(e^{j\omega})\star H(e^{j\omega})$$

2.2.2.8 帕斯维尔定理

$$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2=\frac 1{2π}\int_{-π}^{π}|X(e^{j\omega})|^2d\omega$$

时域总能量等于频域总能量。

2.2.2.9 对称性质

先介绍两个概念：共轭对称序列和共轭反对称序列。

共轭对称序列：$x_e(n)=x^{\star}_e(-n)$

即共轭对称序列的实部为偶函数，虚部为奇函数。

共轭对称的实序列称为偶序列。

共轭反对称序列：$x_o(n)=-x^{\star}_o(-n)$

共轭反对称序列的实部为奇函数，虚部为偶函数。

共轭反对称的实序列称为奇序列。

任意序列可表示成共轭对称序列$x_e(n)$和共轭反对称序列$x_o(n)$之和：

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

则有：

$$x_e(n)=\frac 1 2[x(n)+x^{\star}(-n)]$$ $$x_o(n)=\frac 1 2[x(n)-x^{\star}(-n)]$$

同样，$x(n)$的$DTFT X(e^{j\omega})$也可分解成：

$$X(e^{j\omega})=X_e(e^{j\omega})+X_o(e^{j\omega})$$

其中：

$$X_e(e^{j\omega})=\frac 1 2[X(e^{j\omega})+X^{\star}(e^{-j\omega})]$$ $$X_o(e^{j\omega})=\frac 1 2[X(e^{j\omega})-X^{\star}(e^{-j\omega})]$$

序列的对称性质：

①.

$$x(n)=x_r(n)+jx_i(n)\\ ↓↓↓↓-↓↓↓↓-↓↓↓↓\\ X(e^{j\omega})=X_e(e^{j\omega})+X_o(e^{j\omega})$$

序列的实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性；序列的虚部对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。

②.

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)\\ ↓↓↓↓-↓↓↓↓-↓↓↓↓\\ X(e^{j\omega})=X_R(e^{j\omega})+jX_I(e^{j\omega})$$

序列的共轭对称部分对应的傅里叶变换是$X(e^{j\omega})$的实部；序列的共轭反对称部分对应的傅里叶变换是$X(e^{j\omega})$的虚部部分（包括$j$）。

1）实数序列的$DTFT$满足共轭对称性:

$$X(e^{j\omega})=X_e(e^{j\omega})=X^{\star}(e^{-j\omega})$$

2）对于一个实因果序列，$h(n)=h_e(n)+h_o(n)$

$$h_e(n)=\frac 1 2[h(n)+h^{\star}(-n)]=\frac 1 2[h(n)+h(-n)]$$ $$h_o(n)=\frac 1 2[h(n)-h^{\star}(-n)]=\frac 1 2[h(n)-h(-n)]$$

则有：

$$h_e(n)= \begin{cases} h(0),&{n=0}\\ \frac 1 2h(n),&{n>0}\\ \frac 1 2h(-n),&{n<0} \end{cases}$$ $$h_o(n)= \begin{cases} 0,&{h=0}\\ \frac 1 2 h(n),&{h>0}\\ \frac {-1} 2 h(-n),&{h<0} \end{cases}$$

实因果序列完全可由其偶序列恢复，即可由其傅里叶变换的实部恢复。

若用奇序列恢复，则需要补充序列0时刻的信息。

即：

$$\begin{aligned} & h(n)=h_e(n)u_+(n)\\ & h(n)=h_o(n)u_+(n)+h(0)\delta (n) \end{aligned}$$

其中

$$u_+(n)= \begin{cases} 2 &,{n>0}\\ 1 &,{n=0}\\ 0 &,{n<0} \end{cases}$$

2.3 周期序列的DFS和FT

DFS：离散傅里叶级数；FT：傅里叶变换

2.3.1 周期序列的DFS

$$\begin{aligned} &\tilde X(k)=DFS[\tilde x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}\tilde x(n)e^{-j\frac{2π}{N}kn}\\ &\tilde x(n)=IDFS[\tilde X(k)]=\frac 1N \sum_{k=0}^{N-1}\tilde X(k)e^{j\frac{2π}{N}kn} \end{aligned}$$

2.3.2 周期序列的FT

$$X(e^{j\omega})=\frac{2π}N\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tilde X(k)\delta(\omega-\frac {2π}Nk)$$

式中：

$$\tilde X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}\tilde x(n)e^{-j\frac{2π}{N}kn}$$

$e^{j\omega_0n}$的傅里叶变换为：

$$X(e^{j\omega})=FT[e^{j\omega_0n}]=\sum_{r=-\infty}^{\infty}2π\delta (\omega-\omega_0-2πr)$$

2.4 序列的FT和模拟信号的FT的关系

采样信号FT和模拟信号FT的关系

$$\hat x_a(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a(nT)\delta (t-nT)$$ $$\hat X_a(jΩ)=\frac 1T\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_a[j(Ω-kΩ_s)]$$

序列的FT和模拟信号FT的关系

$$x(n)=x_a(nT)$$ $$X(e^{j\omega})=\frac 1T\sum_{r=-\infty}^{\infty}X_a[j(\frac \omega T-\frac {2π}Tr)]$$

$\omega=ΩT=Ω/f_s$，采样角频率$Ω_s=2π/T$

2.5 序列的Z变换

2.5.1 z变换的定义

$$X(z)=ZT[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}$$

$X(z)$收敛的充要条件是：$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)z^{-n}|<\infty$

与傅里叶变换的关系：

$$X(e^{j\omega})=X(z)|_{z=e^{j\omega}}$$

单位圆上的z变换就是序列的傅里叶变换。

2.5.2 序列特性对收敛域的影响

有限长序列

$$x(n)= \begin{cases} x(n)&,{n_1≤n≤n_2}\\ 0&,{其它n} \end{cases}$$

收敛域：

$$\begin{aligned} &n_1\lt 0,n_2\le 0,\ \ 0\le |z| \lt \infty \\ &n_1\lt0,n_2\gt0, \ \ 0\lt|z|\lt\infty\\ &n_1\ge0,n_2\gt0, \ \ 0\lt|z|\le\infty \end{aligned}$$

如果是因果序列，收敛域为$|z|>R_{x-}$，反之也成立。

2.5.3 逆z变换

$$x(n)=IZT[X(z)]$$

留数法

令$F(z)=X(z)z^{n-1}$，

①. 单极点

$$Res[F(z)]_{z=z_r}=[F(z)(z-z_r)]_{z=z_r}$$

②. N阶极点

$$Res[F(z)]_{z=z_r}=\frac1{(N-1)!}\frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}}[F(z)(z-z_r)^N]_{z=z_r}$$

若围线内有多阶极点而围线外没有多阶极点时，通常用留数定理的辅助定理改求围线外所有极点留数之和，然后取负。

留数定理的辅助定理：

分子和分母的阶数分别为M和N，若n<N-M，c内极点为$N_2$个,则

$$x(n)=-\sum_{k=1}^{N_2}Res[F(z),z_{2k}]$$

部分分式展开法

利用两个常见变换对:

$$ZT[a^nu(n)]=\frac1{1-az^{-1}} \ \ \ |z|>|a|$$ $$ZT[-a^nu(-n-1)]=\frac 1{1-az^{-1}} \ \ \ |z|<|a|$$

2.5.4 z变换的性质

1 线性性质

$$ZT[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z)$$

若线性组合中某些零点和极点相互抵消，收敛域可能扩大。

2 时移性质

$$ZT[x(n-m)]=z^{-m}X(z)$$

3 序列乘以指数序列

$$ZT[a^nx(n)]=X(\frac z a)$$

4 序列乘以n

$$ZT[nx(n)]=-z·\frac d{dz}X(z)$$

5 复共轭序列

$$ZT[x^*(n)]=X^*(z^*)$$

6 翻转序列

$$ZT[x(-n)]=X(\frac 1z)$$

7 初值定理

对于因果序列$x(n)$，有

$$\lim_{z\rightarrow \infty}X(z)=x(0)$$

8 终值定理

设$x(n)$是因果序列，且$X(z)=ZT[x(n)]$的极点处于单位圆以内（单位圆上最多在$z=1$处可有一阶极点），则

$$\lim_{n\rightarrow \infty}x(n)=\lim_{z\rightarrow 1}[(z-1)X(z)]$$

9 时域卷积定理

$$x(n)*h(n)\leftrightarrow X(z)·H(z)$$

10 z域复卷积定理

略（应该不考吧）

11 帕斯维尔定理

略（应该也不考吧）

2.5.5 利用z变换解差分方程

传输函数（频率响应）：$h(n)$（单位脉冲响应），系统函数：$H(z)$

2.6 利用z变换分析信号和系统的频域特性

2.6.1 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性

系统因果、稳定：

$$r<|z|\le \infty,0<r<1$$

2.6.2 频率响应的几何确定法

$$|H(e^{j\omega})|=|K|\frac{各零点矢量模的连乘积}{各极点矢量模的连乘积}$$