信号第七章：离散时间信号与系统的Z域分析

7.1 z变换定义、零极点图及收敛域

7.1.1 z变换定义

$双边：X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\\ 单边：X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$

其中$z=re^{j\omega}$，为一复变量。

7.1.2 零、极点图

一般来说，信号$x[n]$的$z$变化可表示成有理函数形式：

$X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=K\frac{(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_m)}{(z-p_1)(z-p_2)...(z-p_n)}$

$N(z)$的根$z_i$称为零点，$D(z)$的根$p_i$称为极点。

7.1.3 收敛域

7.2 z变换性质

双边z变换的性质

单边z变化的特有性质

终值定理的条件：极点均落于单位圆内（单位圆上最多在$z=1$处有一阶极点）。

7.3 常见信号的z变换

有限长信号：

$\delta[n]\Leftrightarrow 1\quad,[全部z]\\ u[n]-u[n-N]\Leftrightarrow \frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}}\quad,[z\ne 0]$

因果信号：

$u[n]\Leftrightarrow \frac1{1-z^{-1}}\quad,{|z|>1}\\ nu[n]\Leftrightarrow \frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}\quad,{|z|>1}\\ a^nu[n]\Leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}}\quad,{|z|>|a|}\\ na^nu[n]\Leftrightarrow \frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}\quad,|z|>|a|\\ -a^nu[-n-1]\Leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}}\quad,|z|<|a|\\ \cos\omega_0n\cdot u[n]\Leftrightarrow \frac{1-\cos\omega_0\cdot z^{-1}}{1-2\cos\omega_0\cdot z^{-1}+z^{-2}}\quad,|z|>1\\ \sin\omega_0n\cdot u[n]\Leftrightarrow \frac{\sin\omega_0\cdot z^{-1}}{1-2\cos\omega_0\cdot z^{-1}+z^{-2}}\quad,|z|>1\\ r^n\cos\omega_0n\cdot u[n]\Leftrightarrow \frac{1-r\cos \omega_0\cdot z^{-1}}{1-2r\cos\omega_0\cdot z^{-1}+r^2z^{-2}}\quad,|z|>r\\ r^n\sin\omega_0n\cdot u[n]\Leftrightarrow \frac{r\sin\omega_0\cdot z^{-1}}{1-2r\cos\omega_0\cdot z^{-1}+r^2z^{-2}}\quad,|z|>r\\$

7.4 z逆变换

定义：

$x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint_cX(z)z^{n-1}dz$

其中$c$是$X(z)$的收敛域内包围原点的逆时针方向的闭合曲线。

求解方法：

①. 围线积分法（留数法）：

$\begin{aligned} x[n]&=\frac{1}{2\pi j}\oint_cX(z)z^{n-1}dz\\ &=\sum_iRes[X(z)z^{n-1}]|_{z=z_i}\quad\quad(c内极点z_i的留数之和)\\ &=-\sum_kRes[X(z)z^{n-1}]|_{z=z_k}\quad(c外极点z_k的留数之和) \end{aligned}$

需要从$n$的取值讨论$z=0$是不是极点的情况。

若$X(z)z^{n-1}$在$z=z_m$处有一阶极点，则有：

$Res[X(z)z^{n-1}]|_{z=z_m}=[(z-z_m)X(z)z^{n-1}]|_{z=z_m}$

若$X(z)z^{n-1}$在$z=z_m$处有$k$阶极点，则有：

$Res[X(z)z^{n-1}]|_{z=z_m}=\frac{1}{(k-1)!}\{\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}[(z-z_m)^kX(z)z^{n-1}]\}|_{z=z_m}$

②. 幂级数展开法：

$X(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}=...+x[-2]z^2+x[-1]z+x[0]+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}+...$

对于有理$z$变换而言，幂级数展开可采用长除法得到：

如果$X(z)$的收敛域是$|z|>R_x^-$，则$x[n]$必然是因果序列，此时$N(z)$和$D(z)$按$z$的降幂（即$z^{-1}$的升幂）次序进行排列；
如果$X(z)$的收敛域是$|z|<R_x^-$，则$x[n]$必然是左边序列，此时$N(z)$和$D(z)$按$z$的升幂（即$z^{-1}$的降幂）次序进行排列；

③. 部分分式展开法：

$X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=K\frac{(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_m)}{(z-p_1)(z-p_2)...(z-p_n)}$

1、若$n\ge m$，且所有极点$p_k$为单极点，则

$\frac{X(z)}{z}=\frac{A_0}{z}+\frac{A_1}{z-p_1}+\frac{A_2}{z-p_2}+...+\frac{A_n}{z-p_n}=\frac{A_0}{z}+\sum_{k=1}^n\frac{A_k}{z-p_k}$

其中

$A_0=X(z)|_{z=0},\quad\quad A_k=(z-p_k)\frac{X(z)}{z}|_{z=p_k}$

2、若$n\lt m$，则

$X(z)=\sum_{i=0}^{m-n}c_iz^i+\sum_{k=1}^nA_k\frac{z}{z-p_k}$

如果$X(z)$具有多重极点（设$p_i$为$r$重极点），则$X(z)/z$的展开式为：

$\frac{X(z)}{z}=others+\frac{B_0}{(z-p_i)^r}+\frac{B_1}{(z-p_i)^{r-1}}+...+\frac{B_{r-1}}{(z-p_i)}$

其中：

$B_k=\frac{1}{k!}\frac{d^k}{dz^k}[(z-p_i)^r\frac{X(z)}{z}]|_{z=p_i}$

7.5 系统函数

系统函数：

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$

LTI系统的因果性和稳定性：
①. 因果系统：当且仅当一个离散LTI系统的系统函数$H(z)$的$ROC$在某一个圆的外部，且包含无穷远点$\infty$，该系统因果；

②. 稳定系统：当且仅当一个离散LTI系统的系统函数$H(z)$的$ROC$包含单位圆，该系统稳定。

7.6 离散LTI系统的z域分析

利用单边$z$变换来分析离散LTI系统非常有效，因为它包含了系统的初始条件，从而可以方便地求得零输入、零状态响应。

①. 若给定差分方程，则对两边进行单边$z$变换（利用移位性质并代入初始条件）得到$Y(z)$，并将$Y(z)$分解成只与初始条件有关和只与输入信号有关的两部分，再做逆变换，即可对应得到零输入和零状态响应；

②. 若给定系统函数$H(z)$，则首先由$Y(z)=H(z)X(z)$做逆变换可求得零状态响应；再求出差分方程，利用移位性质并代入初始条件进行变换（此时令输入为0），最后做逆变换求出零输入响应。

7.7 离散LTI系统的频率响应

单位圆上计算$z$变换即得离散LTI系统的频率响应：

$H(e^{j\omega})=H(z)|_{z=e^{j\omega}}$

频率响应的几何确定法：

$幅频特性函数: \quad |H(e^{j\omega})|=G\frac{\prod_{r=1}^M A_r}{\prod_{k=1}^N B_k}$

其中$A_r$表示$z$平面上零点至单位圆上某点的长度。

有时会利用到极坐标距离公式：$|AB|=\sqrt{ρ_1^2+ρ_2^2-2ρ_1^2ρ_2^2\cos(\theta_1-\theta_2)}$

7.8 z域系统框图表示

一个$N$阶的离散系统的差分方程可表示为：

$\sum_{k=0}^Na_ky[n-k]=\sum_{k=0}^Mb_kx[n-k]\quad,a_0\ne0$

上式所对应的系统函数为：

$H(z)=\frac{\sum_{k=0}^Mb_kz^{-k}}{\sum_{k=0}^Na_kz^{-k}}=\frac{b_Mz^{-M}+b_{M-1}z^{-(M-1)}+...+b_1z^{-1}+b_0}{a_Nz^{-N}+a_{N-1}z^{-(N-1)}+...+a_1z^{-1}+a_0}$

可描述成框图：