概率论易错知识点

2020/8/20更

①. $D(aX±bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$只有在$X,Y$独立的时候才满足，其是下公式的一般情况：

$D(aX±bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)±2abCov(X,Y)$

②. 任何时候考虑都是要从事件到概率，没有说事件独立$P(AB)=P(A)P(B)$就不一定满足，就得从$P(AB)$进行考虑，而不是立即写出$P(A)P(B)$。

③. 如果$X$是标准化随机变量，那么有$E(X)=0,D(X)=1$。

④. $Cov(X,Y)$的一种计算方法：

$Cov(X,Y)=\frac {D(X+Y)-D(X)-D(Y)}{2}$

⑤. $X \sim (8,7.84)$，则：

$P\{X≥2\}=1-P\{X≤1\}=1-Φ(\frac{1-8}{\sqrt{7.84}})$

而不是：

$P\{X≥2\}=1-P\{X<2\}=1-Φ(\frac {2-8}{7.84})$

2020/8/27更

①. 因为各边缘概率分布独立，样本的联合概率分布律等于各边缘概率分布的乘积。

②. $t$分布：$X\sim N(0,1),Y\sim χ^2_n$，且$X$与$Y$相互独立，则称随机变量

$T=\frac X {\sqrt {Y/n}}$

所服从的分布是自由度为$n$的$t$分布。要注意不要忘记了分母上的$n$。

③. 卡方分布可以查表：$P\{χ^2(n)>χ^2_α(n)\}=α$。

2020/8/29更

①. 如果$f(x)=\frac 1 θ, θ<x<2θ$，则取值范围转化为$θ$的范围为：$\frac {x_{(n)}} 2 {<θ<x_{(1)}}$。其中$x_{(1)}$和$x_{(n)}$分别为最小次序统计量和最大次序统计量。

②. $Y\sim χ^2$，$E(Y)=n$。$\frac {(n-1)S^2}{σ^2}\sim χ^2_{n-1}$，$E(S^2)=\frac {σ^2}{n-1}E[\frac{(n-1)S^2}{σ^2}]=σ^2$。

③. $X\sim N(0,1),P\{X≥Z_α\}=α,0<α<1$，对称；
当$α≤0.5$，$Φ(x_α)=1-α$，
当$α＞0.5$，$Z_α=-Z_{1-α}$。

④. 泊松分布具有可加性。

二项、正态、卡方分布也具有可加性；

两点、标准正态分布不具有可加性。

2020/8/30更

①. 单侧检验需要把双侧检验中的$α/2$变为$α$。！！！

②. 增加样本可以使两类错误的概率都减少。

2020/8/31更

①. 概率的最大值为1！！！

②. 求$Z=X+Y$的分布函数最后的结果一定是由$z$组成的，范围也是$z$的范围。

例题：设随机变量$X$与$Y$相互独立，其中$X$的分布律为：

$X$	1	2
$P$	0.3	0.7

而$Y\sim EXP(1)$，求$Z=X+Y$的分布函数。

解：

$F_Y(y) = \begin{cases} 1-e^{-y},& {y≥0}\\ 0, & {y＜0} \end{cases}$ $F_Z(z)=P\{X=1\}P\{Y+1≤z\}+P\{X=2\}P\{Y+2≤z\}\\ =P\{X=1\}F_Y(z-1)+P\{X=2\}F_Y(z-2)\\ =\begin{cases} 0,& {z<1}\\ 0.3(1-e^{1-z}), & {1≤z＜2}\\ 1-0.3e^{1-z}-0.7e^{2-z}, & {z≥2} \end{cases}$

③. $P\{max(X,Y)<m\}=P\{X<m,Y<m\}$。

例如：$P\{max(X,1/X)≤3\}=P\{X≤3,1/X≤3\}=P\{1/3≤X≤3\}$

④. $E(\overline X)=E(X),D(\overline X)=\frac 1 nD(X)$。

例如：$(X_1,X_2,…,X_n)$是来自均值为$μ$,方差为4的总体的样本，则根据切比雪夫不等式可得估计$P\{μ-4<\overline X<μ+4\}=P\{|\overline X-μ|<4\}＞1-\frac {D(X)}{4^2}=1-\frac 1 {4m}$。

⑤. 若$P(A|B)=1$,则有$P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=0$，因为$P(AB)=P(B)P(A|B)$，但是得不出$B\subset A$，$P(A|B)=1$是$B\subset A$的必要非充分条件。

⑥. $E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(X)f_X(x)dx$，此公式可能会运用到某些求期望的应用题里。

⑦. 对数正态分布$lnX\sim N(μ,σ^2)$：

$f(x)=\begin{cases} \frac 1 {\sqrt {2π}σx}e^{-\frac {(lnx-μ)^2}{2σ^2}}, & {x>0}\\ 0, & {x<0} \end{cases}$

期望$E(X)=e^{μ+\frac {σ^2}{2}}$，方差$D(X)=(e^{σ^2}-1)e^{2μ+σ^2}$

2020/9/01更

①. “16只元件的寿命的总和大于1920”中“16只元件的寿命”可以表示为

$\sum_{i=1}^{16}X_i=16\overline X$

②. 设$X,Y$的方差存在，且不等于0，则$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$是$X,Y$独立的必要不充分条件。

必要性：当$X,Y$独立时，$X,Y$不相关，故也不线性相关，则$ρ_{x,y}=0$，$Cov(X,Y)=0$，故有$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。

不充分性：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$可以得出$ρ_{x,y}=0$，即不线性相关，但是得不出不相关的结论，故无法证明$X,Y$独立。

2020/9/02更

①. 若$P\{X≥x_α\}=α$，则$x_α$是$X$的$α$上侧分位数。

②. 在由边缘分布函数求联合分布函数时，一定要注意积分区间！！

比如：$0<x<1,y^2≤x$，则$y$的范围为$-\sqrt x<y<\sqrt x$，而不是$0<y<\sqrt x$。

③. 连续性随机变量的分布函数是连续的，但是概率密度函数不一定连续。

2020/9/03更

①.

$P\{X<x\}=P\{X≤x\}-P\{X=x\}=F(x)-[F(x+0)-F(x-0)]=F(x)-[F(x)-F(x-0)]=F(x-0)$ $P\{x_1≤X≤x_2,Y<y\}=P\{X≤x_2,Y<y\}-P\{X<x_1,Y<y\}=F(x_2,y-0)-F(x_1-0,y-0)$