数一线代 第二章：矩阵

一、矩阵的概念和运算

1. 概念

定义：m×n个数排成的m行n列的一个表格。

n阶矩阵（方阵）、零矩阵O

如果A和B都是m×n矩阵，则称A和B为同型矩阵。

两个同型矩阵对应元素都相等，则两矩阵相等。

2. 运算

①. 加法：两个同型矩阵：$A+B=[a_{ij}+b_{ij}]_{m×n}$

②. 数乘：$kA=k[a_{ij}]_{m×n}=[ka_{ij}]_{m×n}$

③. 乘法：$A=[a_{ij}]_{m×s}，B=[b_{ij}]_{s×n}$，$AB=C=[c_{ij}]_{m×n}$

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}$$

1. $AB\ne BA$，没有交换律；
2. $AB=0\nrightarrow A=0或B=0$；
3. $AB=AC$,$A\ne 0\nrightarrow B=C$；

④. 转置$A^T$

$$(A+B)^T=A^T+B^T\quad\quad (kA)^T=kA^T\\ (AB)^T=B^TA^T\quad\quad (A^T)^T=A$$

⑤. 矩阵多项式

$$f(x)=a_mx^m+...+a_1x+a_0\\ f(A)=a_mA^m+...+a_1A+a_0E$$

3. 常见的矩阵

对角阵：非对角元素都为0的矩阵，记为：$Λ=diag[a_1,a_2,…a_n]$

$$\left[\begin{matrix} a_1&0&0\\ 0&a_2&0\\ 0&0&a_3 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} b_1&0&0\\ 0&b_2&0\\ 0&0&b_3 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} a_1b_1&0&0\\ 0&a_2b_2&0\\ 0&0&a_3b_3 \end{matrix}\right]$$

①. $Λ_1Λ_2=Λ_2Λ_1$

②.

$$\left[\begin{matrix} a_1&0&0\\ 0&a_2&0\\ 0&0&a_3 \end{matrix}\right] ^n=\left[\begin{matrix} a_1^n&0&0\\ 0&a_2^n&0\\ 0&0&a_3^n \end{matrix}\right]$$

③.

$$\left[\begin{matrix} a_1&0&0\\ 0&a_2&0\\ 0&0&a_3 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} \frac1{a_1}&0&0\\ 0&\frac1{a_2}&0\\ 0&0&\frac1{a_3} \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$$ $$\left[\begin{matrix} a_1&0&0\\ 0&a_2&0\\ 0&0&a_3 \end{matrix}\right]^{-1} =\left[\begin{matrix} \frac1{a_1}&0&0\\ 0&\frac1{a_2}&0\\ 0&0&\frac1{a_3} \end{matrix}\right]$$

对称阵：$A^T=A$，$a_{ij}=a_{ji}$；

反对称阵：$A^T=-A$，$a_{ij}=-a_{ji},a_{ii}=0$。

二、伴随矩阵、可逆矩阵

1. 伴随矩阵

$$A^\star=\left[\begin{matrix} A_{11}&A_{21}&...&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&...&A_{n2}\\ :&:&&:\\ A_{1n}&A_{2n}&...&A_{nn} \end{matrix}\right]$$

公式：

$$AA^\star=A^\star A=|A|E\\ (A^\star)^{-1}=(A^{-1})^\star =\frac1{|A|}A,(|A|\ne0) \\ A^{-1}=\frac1{|A|}A^\star\quad\quad A^\star=|A|A^{-1}\\ (kA)^\star =k^{n-1}A^\star\\ (A^\star)^T=(A^T)^\star\quad \quad (A^\star)^{-1}=(A^{-1})^\star\\ |A^\star|=|A|^{n-1}\\ (A^\star)^\star=|A|^{n-2}A,(n\ge 2)\\ (AB)^\star=B^\star A^\star$$

二阶矩阵的伴随矩阵：主对角互换，副对角变号。

矩阵和其伴随矩阵秩的关系：

$$r(A^\star)=\begin{cases} n,&{r(A)=n}\\ 1,&{r(A)=n-1}\\ 0,&{r(A)\lt n-1} \end{cases}$$

2. 可逆矩阵

$A,B$是$n$阶矩阵，若有

$$AB=BA=E$$

则称A可逆， B为A的逆矩阵。

定理：

①. 矩阵A可逆，那么A的逆矩阵唯一；

②. n阶矩阵A可逆$\leftrightarrow |A|\ne 0$；

③. $AB=E→BA=E$。

强化：

$n$阶矩阵$A$可逆$\Leftrightarrow |A|\ne0$

             $\Leftrightarrow r(A)=n$

             $\Leftrightarrow$ $A$的列（行）向量线性无关

             $\Leftrightarrow A\cong E$

             $\Leftrightarrow A=P_1P_2…P_s,P_i$是初等矩阵

             $\Leftrightarrow 0$不是矩阵$A$的特征值

             $\Leftrightarrow AX=\beta$有唯一解,$AX=0$只有零解

公式：

$$|A^{-1}|=\frac1{|A|}\\ (A^{-1})^{-1}=A\\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\\ (kA)^{-1}=\frac1kA^{-1},(k\ne 0)$$

$(A+B)^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$

求逆矩阵的方法：

①. 定义法：$AB=E$；

②. 若$|A|\ne 0$，则$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^\star$（用于2阶、3阶矩阵）；

③. 初等行变换：$(A|E)→(E|A^{-1})$；

④. 分块矩阵：

$$\left[\begin{matrix} B&O\\ O&C \end{matrix}\right]^{-1}= \left[\begin{matrix} B^{-1}&O\\ O&C^{-1} \end{matrix}\right];\quad \left[\begin{matrix} O&B\\ C&O \end{matrix}\right]^{-1}= \left[\begin{matrix} O&C^{-1}\\ B^{-1}&O \end{matrix}\right]$$

三、初等变换、初等矩阵

初等变换

初等变换：倍乘，互换，倍加。

矩阵经初等变换后秩不变。

初等矩阵

初等矩阵：由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵：

①. 倍乘初等矩阵$E(i(k))$：

$$E(2(k))=\left[\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&k&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$$

②. 互换初等矩阵$E(i,j)$：

$$E(1,2)=\left[\begin{matrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$$

③. 倍加初等矩阵$E(ij(k))$：表示第$j$行的$k$倍加到第$i$行，或第$i$列的$k$倍加到第$j$列（同济课本定义，与清华李永乐版相反）。

$$E(13(k))=\left[\begin{matrix} 1&0&k\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$$

性质：

①. 初等矩阵的转置和逆矩阵仍是初等矩阵：

$$E(i,j)^{-1}=E(i,j)\quad\quad E(i(k))^{-1}=E(i(\frac1k))\quad\quad E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k))$$

②. 用初等矩阵$P$左（右）乘矩阵$A$，其结果$PA(AP)$就是对矩阵$A$做一次相应的初等行（列）变换。

如果$A→(行)→B$，$P_t…P_2P_1A=B$，记$P=P_t…P_2P_1E$，则$PA=B$。

$$(A|E)→(行)→(B|P)$$

注：推广，$AX=B,$即$X=A^{-1}B$可以由$(A|B)\to (E|A^{-1}B)$来求。

等价矩阵

等价矩阵：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则$A\cong B$。等价标准型（与A等价的所有矩阵中的最简矩阵）：

$$A\cong \left[\begin{matrix} E_r&O\\ O&O \end{matrix}\right]$$

性质：

①. 等价一定等秩，等秩不一定等价（必须同时满足两矩阵同型矩阵时，才等价）

②. 矩阵$A$与$B$等价的充要条件是存在可逆矩阵$P$与$Q$，使$PAQ=B$

行阶梯矩阵和行最简矩阵

行阶梯矩阵：

$$\left[\begin{matrix} 1&2&0&3\\ 0&1&-1&5\\ 0&0&0&6 \end{matrix}\right]\quad\quad \left[\begin{matrix} 3&0&1&-4\\ 0&0&2&7\\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right]$$

行最简矩阵：主元都是1，主元所在列其它元素均为0。

$$\left[\begin{matrix} 1&0&-1&0\\ 0&1&2&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right] \quad\quad \left[\begin{matrix} 1&0&0&2\\ 0&0&1&3\\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right]$$

四、分块矩阵

运算：

$$\left[\begin{matrix} A_1&A_2\\ A_3&A_4 \end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix} B_1&B_2\\ B_3&B_4 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} A_1+B_1&A_2+B_2\\ A_3+B_3&A_4+B_4 \end{matrix}\right]$$ $$\left[\begin{matrix} A&B\\ C&D \end{matrix}\right]^T= \left[\begin{matrix} A^T&C^T\\ B^T&D^T \end{matrix}\right]$$ $$\left[\begin{matrix} B&O\\ O&C \end{matrix}\right]^n =\left[\begin{matrix} B^n&O\\ O&C^n \end{matrix}\right],\quad\quad \left[\begin{matrix} O&B\\ C&O \end{matrix}\right]^n \ne\left[\begin{matrix} O&B^n\\ C^n&O \end{matrix}\right]$$ $$\left[\begin{matrix} B&O\\ O&C \end{matrix}\right]^{-1}= \left[\begin{matrix} B^{-1}&O\\ O&C^{-1} \end{matrix}\right],\quad\quad \left[\begin{matrix} O&B\\ C&O \end{matrix}\right]^{-1}= \left[\begin{matrix} O&C^{-1}\\ B^{-1}&O \end{matrix}\right]$$

抽象分块矩阵求逆：$H=\left[\begin{matrix}A&C\\O&B \end{matrix}\right]$，设$H^{-1}=\left[\begin{matrix}X&Y\\Z&W \end{matrix}\right]$，由$H\cdot H^{-1}=E$列方程组求解。

五、方阵的行列式

$$|A^T|=|A|\quad\quad |kA|=k^n|A|\\ |A^{-1}|=|A|^{-1}\quad\quad |A^\star|=|A|^{n-1}\\ |AB|=|A||B|$$ $$\left|\begin{matrix} A&O\\ C&B \end{matrix}\right|= \left|\begin{matrix} A&D\\ O&B \end{matrix}\right|= |A|·|B| \quad\quad \left|\begin{matrix} O&A\\ B&C \end{matrix}\right|= \left|\begin{matrix} D&A\\ B&O \end{matrix}\right|= (-1)^{mn}|A|·|B|$$

技巧知识点

①. $P$是可逆矩阵，$B=P^{-1}AP$，则$B^n=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)…(P^{-1}AP)=P^{-1}A^nP$

②. 若秩$r(A)=1$，则$A$可分解为一个列向量和一个行向量，有$A^2=lA,A^n=l^{n-1}A$

$$A=\left[\begin{matrix} a_1b_1&a_1b_2&a_1b_3\\ a_2b_1&a_2b_2&a_2b_3\\ a_3b_1&a_3b_2&a_3b_3 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} b_1,b_2,b_3 \end{matrix}\right]=\sum a_{ii}$$

那么$A^2=(\alpha\beta^T)(\alpha\beta^T)=\alpha(\beta^T\alpha)\beta^T=lA$，其中$l=\beta^T\alpha=\alpha^T\beta=\sum a_{ii}$

③. 求解线性方程组、特征向量、列向量的线性关系时只能用初等行变换； 求解逆矩阵是可以用初等行变换也可以初等逆变换，但两者不可同时使用。

④. 若$P$可逆，则$E=P^{-1}P$；若$P$正交，则$E=P^TP=P^{-1}P$，常用于解题

⑤. 一般地，当$AB=cB$时,$A^nB=c^nB$，特别的$AB=B$时，$A^nB=B$

⑥. 设$A$是$n$阶非$0$实矩阵，$A^\star=A^T$，则$|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}=\sum_{j=1}^na_{ij}^2>0,\forall i$（李正元P362 例2.27）

⑦. $E-AB$可逆$\Leftrightarrow E-BA$可逆（证明方法：1. 克拉默法则，证明只有0解；2. 特征向量和特征值，等价为$E-AB$不可逆$[1$是$AB$的特征值$]$$\Leftrightarrow E-BA$不可逆 ）（李正元P364 例2.31）。且有：

$$|E-AB|=|E-BA|\quad\quad\quad |\lambda E-AB|=|\lambda E-BA|$$

⑧. 数量矩阵的概念：$kE,k$是任意实数。