李永乐6套卷总结

第一套

得分：120（细节把握的很差）

第1题：$AB$反例$g(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1x&,{x\ne 0}\\ 0&,{x=0} \end{cases}$；$C$反例：$g(x)=x^2,G(x)=\frac13x^3+C$
第8题：$P(AB)=0.7+0.9+P(A∪B),P(A∪B)\le 1$
第17题：$\int_{0}^x t|x-t|dt$需要讨论$x>0$和$x<0$的不同情况，换元$t=x-t$，最终可以得到$x>0$时是$\frac16x^3$，$x<0$时是$-\frac16x^3$
第18题，两问都是补面高斯
第19题，用到柯西积分不等式：$\big(\int_a^b f(x)g(x)dx\big)^2=\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx$
第20题，极限定义+压缩映射
第21题，$\left[\begin{matrix}
B&O\\
O&C
\end{matrix}\right]^n
=\left[\begin{matrix}
B^n&O\\
O&C^n
\end{matrix}\right]$

得分：123（出现了不应该有的计算失误，也发现了一些需要注意的点）

第13题，求由两个面方程联立的曲线切向量，要先把两个面的法向量求出然后叉乘，切记不能把两个方程联立相消，下面的多重积分就犯了这个错误
第14题，求隐函数的二阶导时，在隐函数所在的等式里连续求两次，不要求完一次导然后分离出来再求一次导，这样计算量会非常大（以前踩过的坑，希望这次能记住）
第18题，在李林里有类似的题，解法也是构造一个变限积分函数比较好，即$F(x)=\int_0^t f(u)du$，这样会有$F(0)=0$方便确定$C$
第19题，证明题，构造函数$F(x)=e^{g(x)}[f(x)-f(η)]$；在感觉没法直接用罗尔或拉格朗日定理时，要有意识地想着去构造函数
第20题，不能把$x^2+y^2+z^2=a^2$和$x^2+y^2=ax$联立相消得到$ax+z^2=a^2$然后把被积函数里的$a^2-ax$，这是典型错误！！，另外，$\Gamma$是圆上被圆柱割下的线，所以求这个线的法向量的方向余弦要从圆的方程来求

得分：130（因为粗心直接砍掉10分）

第10题，$(X,Y)\sim (0,0,σ^2,σ^2,ρ)$，$D(X+Y)=2σ^2(1+ρ),D(X-Y)=2σ^2(1-ρ)$，所以不是同分布；$X,Y$呈二维正态分布，则$X,Y$不相关与独立等价
第12题，不定积分结果要加上常数$C$。。
第14题，$y’=C_1e^x+C_2,y’’=C_1e^x$，将$y’’,y’,y$组合即可得到答案$(1-x)y’’+xy’-y=0$；$y’’’-y’’=0$的通解是$y=C_1e^x+(C_2x+C_3)$，不一样

得分不写了，状态太差，太拉了。

第2题，关键点在于写出$\begin{cases}x=u\\y=\frac{u}{uv+1} \end{cases}$，$\frac{\partial \varphi}{\partial u}=-\frac1{z^2}\frac{\partial z}{\partial u}+\frac1{x^2}=-\frac1{z^2}[\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial v}]+\frac1{x^2}$
第4题，③反例$u_n=(-1)^n\frac1{\sqrt n}+\frac1n,v_n=(-1)^n\frac1{\sqrt n}$；④. $0\le b_n-a_n\le c_n-a_n$，$\sum_{n=1}^\infty c_n-a_n$收敛，则$\sum_{n=1}^\infty b_n-a_n$也收敛，则$\sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{n=1}^\infty(b_n-a_n)+\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛
第7题，$\alpha_1+2\alpha_2-\alpha_3=0$，$l_1+2l_2-l_3=0$，所以可以取值$3,1,5$
第13题，用对称性！$\iint_\sum x^2dS=\frac1{2}\iint_\sum{x^2+y^2}dS=2\iint_\sum dS$；错误做法：$z’_x=z’_y=0$，这个曲面只是圆柱的侧面，往xoy投影只能得到一个圆圈，而不是一个面。
第17题，放缩+夹逼定理综合
第21题，注意配方法化简
第22题，$N_0\sim N(n,2\theta(1-\theta)),N_1\sim N(n,2\theta^2),N_2\sim N(n,1-2\theta)$

得分：131（计算问题、细节问题仍然存在）

第9题，概率密度函数需要满足非负性$f(x)\ge 0$和规范性$\int_{-\infty}^{+\infty }f(x)dx=1$，$af(ax)$中$a\le 0$时就不能作为概率密度函数了；
第10题，$5X+7Y=1$，$D(Y)=D(\frac{1-5X}{7})=\frac{5^2}{7^2}D(X)$
第14题，$(x^2)^3=x^6\ne x^8…$
第17题，$\int_{\alpha}^{y+x}e^{-t^2}dt=2y-\sin x$，两边对$x$求导，$[y’(x)+1]e^{-(y+x)^2}=2y’(x)-\cos x$，注意有$[y’(x)+1]$！
第22题，$f(x)=\begin{cases}1&,{\theta\le x\le \theta+1}\\0&,其它 \end{cases}$，最大似然估计量是$\max\{X_1,…,X_n\}-1\le \hat \theta\le \min \{X_1,…,X_n\}$

Mat Jenin

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