DSP 第一章：时域离散信号与系统

题型总结

①. 判断一个序列是否是周期序列；

②. 判断系统是否是线性、非时变的；

③. 判断系统是否是因果、稳定的；

④. 求解卷积结果（列表法、解析法）；

⑤. 证明线性卷积的性质。

1.1 引言

1.2 时域离散信号——时间序列

1.2.1 序列的概念

对模拟信号$x_a(t)$进行等间隔采样， 采样间隔为T，得到

$$x_a(t)|_{t=nT}=x_a(nT),-\infty<n<+\infty$$

简化：

$$x(n)=x_a(nT)$$

$x(n)$简称序列。

1.2.2 序列的表示方法

枚举法、函数法、图形法。

1.2.3 常用典型序列

①. 单位脉冲（采样）序列

$$δ(n)= \begin{cases} 1,&{n=0}\\ 0,&{n≠0} \end{cases}$$

下式可表示任意序列：

$$\begin{aligned} x(n)&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)δ(n-m)\\&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}δ(m)x(n-m) \end{aligned}$$

两个经典公式：

$$x(n)\star δ(n)=x(n)$$ $$x(n)\star δ(n-n_0)=x(n-n_0)$$

②. 单位阶跃序列

$$u(n)= \begin{cases} 1,&{n≥0}\\ 0,&{n<0} \end{cases}$$

与单位脉冲序列的关系：

$$u(n)=\sum_{k=0}^{\infty}δ(n-k)=\sum_{m=-\infty}^{n}δ(m)$$

③. 矩形序列

$$R_N(n)= \begin{cases} 1,&{0≤n≤N-1}\\ 0,&{其它} \end{cases}$$

与阶跃序列的关系：

$$R_N(n)=u(n)-u(n-N)$$

与单位脉冲序列的关系：

$$R_N(n)=\sum_{m=0}^{N-1}δ(n-m)$$

④. 实指数序列

$$x(n)=a^nu(n),a为实数$$

⑤. 正弦型序列

$$x(n)=Asin(\omega n+\phi)$$

模拟正弦信号：

$$x_a(t)=Asin(Ωt+\phi)$$

采样时间序列：

$$x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=Asin(ΩnT+\phi)=Asin(\omega n+\phi)$$ $$\omega=ΩT=Ω/f_s=2πf/f_s=2π\overline f$$

$Ω$：模拟角频率[弧度/秒]——每秒经历多少弧度
$\omega$：数字角频率[弧度]——每个采样点间隔的弧度
$f$：模拟频率[赫兹=周/秒]——每秒经历多少个周期
$f_s$：采样频率[赫兹]——每秒采样的点数
$\overline f$：数字频率[周]——每个采样点间隔的周期数

数字角频率和模拟角频率是数字频率和模拟频率对采样频率的归一化

⑥. 复指数序列

$$\begin{aligned} x(n)&=e^{(σ+j\omega)n}\\&=e^{σn}cos(\omega n)+je^{σn}sin(\omega n) \end{aligned}$$

注：复指数序列对参量$\omega$呈现$2π$周期性。

1、信号变化的快慢一般用单位时间内过零点数目表征；
2、当离散正（余）弦序列信号的主值区间为$[-π，π]$时，$|\omega|$越大信号变化越快，$\omega=0$时信号不变化（直流）；当主值区间取$[0,2π]$时，$\omega$越靠近$π$变化越快，越靠近$0$和$2π$变化越慢。
3、只有当主值区间取为$[-π，π]$时，同一个余弦序列的两个数字角频率才对应同一个连续余弦信号的采样结果。

⑦. 周期序列
对所有$n$存在一个最小的正整数$N$，满足：

$$x(n)=x(n+N),-\infty<n<+\infty$$

则称$x(n)$为以$N$为周期的周期序列。

复指数序列和正弦序列不一定是周期序列：当$2π/\omega$为无理数时，复指数（正弦）序列不是周期序列。
对连续正弦信号采样得到周期的正弦序列的方法：$N$个采样间隔应等于$k$个连续正弦信号的周期。

1.2.4 序列的运算

1.2.4.1 序列移位

左加右减。

1.2.4.2 序列翻转

$x(-n)$相对于$x(n)$，被称为翻转序列。

1.2.4.3 序列的加法和乘法

对应序列号相加或相乘。

1.2.4.4 尺度变换

$y(n)=x(2n)$相当于将$x(n)$横坐标轴压缩了$1/2$。
$y(n)=x(n/2)$相当于将$x(n)$横坐标展宽了$2$倍。

1.3 离散时间系统

离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算，记为：$T[·]$

$$y(n)=T[x(n)]$$

1.3.1 线性系统

$$\begin{aligned} T[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)] &=a_1T[x_1(n)]+a_2T[x_2(n)]\\ &=a_1y_1(n)+a_2y_2(n) \end{aligned}$$

满足线性叠加定理与同时满足可加性和齐次性等效：
可加性：$T[x_1(n)+x_2(n)]=y_1(n)+y_2(n)$
齐次性：$T[ax(n)]=ay(n)$
其中$a,a_1,a_2$为常数，也可以为复数。

线性系统：零输入必然产生零输出。

1.3.2 时不变系统

判断：$T[x(n)]=y(n)$，且$T[x(n-m)]=y(n-m)$，$m$为任意整数，则该系统是时不变系统。

序列先移位再通过时不变系统等效于先通过系统再移位。

同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变系统（LTI）。

1.3.3 LTI输入与输出之间的关系

线性时不变系统的特性可用其单位脉冲响应唯一表征。

输入为单位脉冲序列时系统的零状态响应，称为该系统的单位脉冲响应，用$h(n)$表示。

$$h(n)=T[δ(n)]$$

因为任意输入序列都可表示为：$x(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)δ(n-m)$，

系统输出：

$$\begin{aligned} y(n)&=T[x(n)]\\&=T[\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)δ(n-m)]\\&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)T[δ(n-m)]\\&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)\\&=x(n)\star h(n) \end{aligned}$$

即一个$LTI$系统的输出等于输入序列与该系统单位脉冲响应的卷积。

卷积（和）的计算

①. 翻转：$x(n)→x(m)$，$h(n)→h(m)$，$h(m)→h(-m)$
②. 移位：将$h(-m)$移位$n$，$h(-m)→h[-(m-n)]=h(n-m)$
③. 相乘相加：$x(m)·h(n-m),-\infty<m<+\infty$
④. 改变$n$，重复②、③

当$x(n)$的非零区间为$[N_1,N_2]$，$h(n)$的非零区间为$[M_1,M_2]$时，卷积输出$y(n)$的非零区间为$[N_1+M_1,N_2+M_2]$。
因此，如果有限长序列$x(n)$的长度为$N$，$h(n)$的长度为$M$，则其卷积序列的长度 $L$为：$L=N+M-1$。

1.3.4 因果系统

系统的因果性即指的是系统的可实现性。

$$h(n)=0,n<0 \tag1$$

$n$时刻的输出是否与$n$时刻之后的输入有关

1.3.5 稳定系统

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<\infty \tag2$$