数一概率论 第二章：随机变量及分布

第二章 随机变量及分布

2.1 随机变量及分布函数

• 随机变量：是关于样本点的函数，定义域是样本空间。

• 分布函数：$F(x)=P\lbrace X≤x\rbrace$ ，其中$X$是随机变量。

性质：

1. 单调不减；
2. 非负有界；$0≤F(x)≤1$，$F(-\infty)=0$，$F(+\infty)=1$。
3. 右连续：$F(a+0)=F(a)$

满足上面三个性质的函数一定可以作某个随机变量的分布函数。

• $P\{X=a\}=F(a+0)-F(a-0)$

2.2 离散型随机变量的分布

离散型随机变量：随机变量取值只有有限个或可列个。

2.2.1 离散型随机变量的概率分布律

概率分布律：取各个可能值的概率，$P\{X=x_k\}=P_k,k=1,2…$

性质：

1. 非负性：$P_k≥0，k=1,2…$
2. 规范性：$\sum_{k=1}^{+\infty}=1$

2.2.2 常用离散型随机变量的分布

两点分布（伯努利分布）

$X \sim B(1,P)$

$$P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1;0<p<1$$

二项分布

$X \sim B(n,P)$

$$P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1...n;0<p<1$$

定理2.1：$X \sim B(n,P)$，$k$由$0→n$，$P\{X=k\}$增加后减少，且当：

$$k=k_0 = \begin{cases} (n+1)p或(n+1)p-1,& {若(n+1)p是整数}\\ [(n+1)p],& {若(n+1)p不是整数} \end{cases}$$

时$P\{X=k_0\}$最大。

泊松分布

$X \sim P(λ)$

$$P\{X=k\}=\frac {λ^k\star e^{-λ}} {k!},k=0,1,2...;λ>0$$

泊松定理：n很大p很小时，$C^k_nP^k(1-p)^{n-k}≈\frac {λ^k\star e^{-λ}} {k!}$，其中$λ=np$。

超几何分布

$$P\{X=k\}=\frac {C^k_M C^{n-k}_{N-M} }{C^n_N}，k=0,1,2...min\{n,M\}$$

几何分布

$$P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p, k=1,2...$$

定理2.3：几何分布具有无记忆性，$P\{X>m+n|X>m\}=P\{X>n\}$。

2.3 连续型随机变量的分布

2.3.1 连续型随机变量的概率密度函数

设随机变量X的分布函数为$F(X)$，若存在非负函数$f(x)$，使$F(X)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，则X为连续型随机变量， $f(x)$为X的概率密度函数。

性质：

1. 非负性：$f(x)≥0$
2. 规范性：$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1$

上面两个性质是是否是概率密度函数的充要条件。

注：

1. 对任何实数a，b（a<b），$P\{a<X≤b\}=F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx$，（哪求概率，哪求积分）
2. 若$f(x)$在点x处连续，则$F^{‘}(x)=f(x)$
3. 对任意实数a，$P\{X=a\}=0$
4. 改变$f(X)$在有限个点处的值不影响$F(x)$

2.3.2 常用连续型随机变量的分布

均匀分布

$X \sim U(a,b)$

$$f(x) = \begin{cases} \frac 1 {b-a},& {a≤x≤b}\\ 0,& {其他} \end{cases}$$ $$F(x) = \begin{cases} 0,& {x<a}\\ \frac {x-a}{b-a},& {a≤x<b}\\ 1,& {x≥b} \end{cases}$$

指数分布

$X \sim Exp(λ)$

$$f(x) = \begin{cases} λe^{-λx},& {x≥0}\\ 0,& {x<0} \end{cases}$$ $$F(x) = \begin{cases} 1-e^{-λx},& {x≥0}\\ 0,& {x<0} \end{cases}$$

定理2.4：指数分布有无记忆性，$P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}$。

正态分布

$X \sim N(μ，σ^2)$

$$f(x)=\frac 1{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac {(x-μ)^2} {2σ^2} },{-\infty}<x<{+\infty},{-\infty}<μ<{+\infty},σ>0$$

$F(μ)=\frac 1 2$

$F(μ-x)=1-F(μ+x)$

当$x=\mu$时，$f(x)$取得最大值$f(\mu)=\frac1{\sqrt{2\pi}σ}$，$(\mu,\frac1{\sqrt{2\pi}σ})$为$f(x)$驻点。

标准正态分布：

$μ=0，σ=1;$

$$ψ(x)=\frac 1 {\sqrt {2π} }e^{-\frac {x^2} {2} },{-\infty}<x<+\infty\quad\quad\quad Φ(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\pi e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

关于$\varphi(x)$的特性：

• $\varphi(-x)=\varphi(x)$，是偶函数；
• $\varphi(x)$在$(-\infty,0)↑,(0,+\infty)↓$；
• $x=\pm1$是$\varphi(x)$两个拐点；
• $\lim_{x\to \infty}\varphi(x)=0$，$x$轴是$\varphi(x)$的水平渐近线。

关于$Φ(x)$的特性：

• $Φ(-x)=1-Φ(x)$，特别地，$Φ(0)=\frac 1 2$
• 对任意实数$a>0$，有$P\{|X|\le a\}=2Φ(a)-1$

正态分布和标准正态分布的关系：

$$F(x)=P\{X\le x\}=Φ(\frac {x-μ} {σ}),x∈R$$

2.4 随机变量函数的分布

2.4.1 离散型随机变量函数的分布

$$P\{X=x_i\}=p_i\quad \to \quad P\{Y=g(x_i)\}=p_i\quad i=1,2,...$$

2.4.2 连续型随机变量函数的分布

①. 定义法

前提：$Y=g(X)$是连续型的

$$F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}=\int_{g(x)\le y}f(x)dx$$

②. 公式法

前提：$y=g(x)$严格单调，$h(y)$是$g(x)$的反函数，$Y=g(X)$是连续型随机变量

$$f_Y(y)=\begin{cases} f_X[h(y)]|h'(y)|&,{\alpha<y<\beta}\\ 0&,{其它} \end{cases}$$

$(\alpha,\beta)$是$g(x)$在$X$可能取值的区间上的值域。

③. 如果$Y=g(X)$是离散型，$P\{Y=a\}$

随机变量的分布函数是唯一的（无论连续或离散）

如果x的分布函数是$F(x)$，只要在$(-\infty,x]$上的积分等于$F(x)$的函数都可以说是x的密度函数。所以连续型随机变量的概率密度函数是不唯一的。

连续型随机变量的分布函数一定是连续函数。