积分变换 拉普拉斯逆变换之留数法

拉普拉斯反演积分

$$f(t)=\frac 1{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}ds,t>0$$

这个公式要记一下哦，我59天前的积分变换期末考试有考过~

留数法

在考试的时候拉普拉斯逆变换只会涉及到函数形式为：$F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}$，其中$A(s),B(s)$是不可多约的多项式，$B(s)$的次数是$n$， 而且$A(s)$的次数小于$B(s)$的次数。所以求解方法只有两种，一种是留数法， 一种是部分分式法（部分分式法我记得信号与系统有学吧，如果不太明白的话以后可以再讲给你听）。

下面就看一下留数法求解拉普拉斯逆变换的方法：

首先列一下留数法定理，看着乐呵一下就好啦，不用强求去理解多好：

定理（留数法）：若$s_1,s_2,…,s_n$是函数$F(s)$的所有奇点（适当选取$β$使这些奇点全在$Re(s)<β$的范围内），且当$s\rightarrow \infty$时，$F(s)\rightarrow 0$，则有

$$f(t)=\sum_{k=1}^n Res_{s=s_k}[F(s)e^{st}],t>0$$

用留数法求解的时候分为两种情况，一种是单极点的情况， 另一种是多极点的情况，分别进行讨论。

极点：在这里通俗的说就是让分式的分母为$0$时$s$的取值，知道这些应该就好啦。

单极点情况

若$B(s)$有$n$个单零点$s_1,s_2,…,s_n$， 即这些点都是$\frac{A(s)}{B(s)}$的单极点，则留数为：

$$Res_{s=s_k}[\frac{A(s)}{B(s)}e^{st}]=\frac{A(s_k)}{B'(s_k)}e^{s_kt} \tag{1}$$

则有：

$$f(t)=\sum_{k=1}^n\frac{A(s_k)}{B'(s_k)}e^{s_kt},t>0$$

多极点情况

若$s_1$是$B(s)$的一个$m$级零点，$s_{m+1},s_{m+2},…,s_n$是$B(s)$的单零点。则

$$Res_{s=s_1}[\frac{A(s)}{B(s)}e^{st}]=\frac 1 {(m-1)!}\lim_{s\rightarrow s_1}\frac{d^{m-1}}{ds^{m-1}}[(s-s_1)^m\frac{A(s)}{B(s)}e^{st}] \tag{2}$$

上面公式$(1)$和公式$(2)$一定要通过多做题记住哦

所以有：

$$f(t)=\sum_{i=m+1}^n\frac{A(s_i)}{B'(s_i)}e^{s_kt}+\frac 1 {(m-1)!}\lim_{s\rightarrow s_1}\frac{d^{m-1}}{ds^{m-1}}[(s-s_1)^m\frac{A(s)}{B(s)}e^{st}],t>0$$

例题解析

利用留数法求下列函数的拉普拉斯变换：

例1

$$F(s)=\frac{s}{(s-a)(s-b)}$$

解：这个函数的极点很明显，就是有两个单极点（此题假设$a≠b$且$a,b≠0$）$s_1=a,s_2=b$，所以根据公式$(1)$，有

$$\begin{aligned} f(x)&=Res_{s=a}[\frac{A(s)}{B(s)}e^{st}]+Res_{s=b}[\frac{A(s)}{B(s)}e^{st}]\\ &=\frac{s}{[(s-a)(s-b)]'}e^{st}|_{s=a}+\frac{s}{[(s-a)(s-b)]'}e^{st}|_{s=b}\\ &=\frac{s}{2s-(a+b)}e^{st}|_{s=a}+\frac{s}{2s-(a+b)}e^{st}|_{s=b}\\ &=\frac{a}{a-b}e^{at}+\frac{b}{b-a}e^{bt}\\ &=\frac{ae^{at}-be^{bt}}{a-b} \end{aligned}$$

就求出来啦。

例2

$$F(s)=\frac{s+c}{(s+a)(s+b)^2}$$

解：这个函数有一个单极点$s_1=-a$，和一个二级极点$s_2=-b$，所以根据公式$(1)$和$(2)$，有

$$\begin{aligned} f(x)&=Res_{s=-a}[\frac{A(s)}{B(s)}e^{st}]+Res_{s=-b}[\frac{A(s)}{B(s)}e^{st}]\\ &=\frac{s+c}{[(s+a)(s+b)^2]'}e^{st}|_{s=-a}+\frac 1 {(2-1)!}\lim_{s\rightarrow -b}\frac{d^{2-1}}{ds^{2-1}}[(s+b)^2\frac{s+c}{(s+a)(s+b)^2}e^{st}]\\ &=\frac{s+c}{(s+b)^2+2(s+a)(s+b)}e^{st}|_{s=-a}+\lim_{s\rightarrow -b}\frac{d}{ds}[\frac{s+c}{(s+a)}e^{st}]\\ &=\frac{s+c}{(s+b)^2+2(s+a)(s+b)}e^{st}|_{s=-a}+\lim_{s\rightarrow -b}[\frac{(s+a)-(s+c)}{(s+a)^2}e^{st}+\frac{s+c}{(s+a)}te^{st}]\\ &=\frac{c-a}{(b-a)^2}e^{-at}+\frac{a-c}{(a-b)^2}e^{-bt}+\frac{c-b}{a-b}te^{-bt} \end{aligned}$$

考试的时候就上面这种题型了，只不过有时候极点不一样，多级极点最多应该就三级，不然求导太难算了，如果级数高的话优先考虑部分分式法，另外最后要注意一点：如果一个零点和极点相同，则会抵消掉，零点就是分子为$0$的$s$的取值。

哪里不明白之后再问吧~