数一高数 不等式证明专题

数一 不等式证明专题

恒等变换证明

例：要证明$f(x)\le g(x)$，则：

• 只需要证明$f(x)-g(x)\le 0$
• 如果$f(x)\ge 0$，则只需要证明$\frac{f(x)}{g(x)}\le 1$
• 只需要证明$e^{f(x)}\le e^{g(x)}$
• 如果$f(x)>0$，则只需要证明$\ln f(x)\le \ln g(x)$
• ……

放缩

绝对值不等式

①. $-|x|\le x\le |x|$

②. $||x|-|y||\le |x\pm y|\le|x|+|y|,\ \ \forall x,y∈R$

均值不等式

①. $a^2+b^2\ge 2ab,\ \ \forall a,b∈R$

②. $a+b\ge 2\sqrt{ab},\ \ \forall a,b∈R^+$

③. $\frac1{\frac1a+\frac1b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},\ \ \forall a,b∈R^+$

取整不等式

$[x]$表示不超过$x$的最大整数。

$$x-1\lt [x]\le x\quad \Leftrightarrow\quad [x]\le x\lt [x]+1$$

其它常用不等式

①. $x^2\ge0,|x|\ge 0\ \ \forall x∈R,$当$x=0$时取等号；

②. $|\sin x|\le 1$，$\forall x∈R$，当$x=\frac\pi2+k\pi$时取等号；

③. $|\sin x|\le |x|$，$\forall x∈R$，当$x=0$时取等号；

④. $|x|\le |\tan x|$，$\forall x∈(-\frac\pi2,\frac\pi2)$，当$x=0$时取等号；

⑤. $\frac x{1+x}\le\ln(1+x)\le x$，$\forall x\ge 0$。

⑥. $\frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1,\frac{y^2}{x^2+y^2}\le 1,\ \ \forall x,y∈R(x^2+y^2\ne0)$（判断多元函数的连续性常用）

柯西不等式

$n$元离散的柯西不等式

$$(a^2_1+a^2_2+...+a^2_n)(b^2_1+b^2_2+...b^2_n)\ge (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\quad \forall a_i,b_i∈R$$

当且仅当$a_i=\lambda b_i\ ,i=1,2,…,n$时等号成立。

连续的二元柯西不等式

设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上均连续，则有

$$\int_a^b f^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx\ge(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2$$

当且仅当$f(x)=\lambda g(x)$时等号成立。

利用导数

利用泰勒公式（拉格朗日型余项）

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{n+1}(ξ)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

利用凹凸性

定义：设函数$f(x)$在区间$I$上连续，恒有

$$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)<f(x)$$

特别地有：$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

则称$f(x)$在$I$上的图形是凹的；如果恒有

$$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)>f(x)$$

特别的有：$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

则称$f(x)$在$I$上的图形是凸的。

定理：$f’’(x)>0$凹，$f’’(x)<0$凸。