数一线代 第三章：向量

一、向量、向量组的概念

定义： n个数$a_1,a_2,…,a_n$构成的有序数组称为n维向量。

列向量，行向量

基本运算：加法、数乘。

若干个同维数的行向量（或列向量）所组成的集合叫做向量组。

部分组、整体组、延伸组、缩短组

二、线性表出、线性相关

定义：m个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$及m个数$k_1,k_2,…,k_m$，则向量

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m$$

称为向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$的一个线性组合，$k_1,k_2,…,k_m$称为这个线性组合的系数。

若$\beta$能表示成$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$的线性组合，即

$$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m$$

则称$\beta$能由$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m $线性表出。

向量$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$线性表出

$\leftrightarrow \exists$实数$k_1,k_2,…,k_m$使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+…+k_m\alpha_m=\beta$；

$\leftrightarrow$方程组

$$[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m]\left[\begin{matrix} x_1\\x_2\\:\\x_m \end{matrix}\right]=\beta \quad有解$$

$\leftrightarrow$秩$r(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m)=r(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m,\beta)$

定义： 对m个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$，若存在不全为0的数$k_1,k_2,…,k_m$，使得

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m=0$$

成立，则$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$线性相关，否则称其线性无关。

含有0向量，相等向量，比例向量的向量组是线性相关的。

向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$线性相关

$\leftrightarrow$以$\alpha_j$为列向量的齐次线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+..+x_m\alpha_m=0$有非零解

$\leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m)<m$

推论：

①. n个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$线性相关$\leftrightarrow$行列式$|\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n|=0$。

②. 任何n+1个n维向量必线性相关。

定理：

①. 若向量组$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$线性无关，而向量组$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s,\beta$线性相关，则$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$线性表出，且表出法唯一。

②. 向量组$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s(s\ge2)$线性相关$\leftrightarrow \exists \alpha_i$可由其余的向量线性表出。

③. 设$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$可由$\beta_1,\beta_2,…,\beta_t$线性表出，则$r(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s)\le r(\beta_1,\beta_2,…,\beta_t)$。

④. 如$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$可由$\beta_1，\beta_2…\beta_t$线性表出，且$s\gt t$，则$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$必线性相关。

推论：如$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$线性无关，且$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$可由$\beta_1,\beta_2…\beta_t$线性表出，则$s\le t$。

定理（关于部分组、整体组、延伸组、缩短组）：

①. 任何部分组$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r$相关$\Rightarrow$整体组$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r,…,\alpha_s$相关；

②. 整体组$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r,…,\alpha_s$无关$\Rightarrow$ 任何部分组$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r$无关；

③. $\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$线性无关$\Rightarrow$延伸组$\tilde \alpha_1,\tilde \alpha_2,…,\tilde \alpha_m$线性无关；

④. 延伸组$\tilde \alpha_1,\tilde \alpha_2,…,\tilde \alpha_m$线性相关$\Rightarrow$ $\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$线性相关。

三、向量组的秩、矩阵的秩

1. 向量组的秩

定义：向量组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},…\alpha_{i_r}(1\le i_r\le s)$是向量组$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$的部分组，满足条件

（1） $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},…\alpha_{i_r}$线性无关；

（2） 向量组中任一向量$\alpha_i(1\le i\le s)$均可由$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},…\alpha_{i_r}$线性表出，则称向量组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},…\alpha_{i_r}$是向量组$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$的极大线性无关组。

只有一个0向量组成的向量组没有极大线性无关组。

极大线性无关组通常不唯一，但向量个数是一样的。 向量组的极大线性无关组的向量个数称为向量组的秩，记为$r(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s)$。

2. 矩阵的秩

矩阵A中非0子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为$r(A)$。

• $r(A)=0\leftrightarrow A=O;A\ne O\leftrightarrow r(A)\ge1$。
• 若A是n阶矩阵，$r(A)=n\leftrightarrow |A|\ne 0\leftrightarrow A可逆$；$r(A)\lt n\leftrightarrow |A|= 0\leftrightarrow A不可逆$。
• 若A是m×n矩阵，则$r(A)\le min(m,n)$。
• 经初等变换，矩阵的秩不变。
• $r(A^T)=r(A^TA)=r(kA)=r(A),k\ne 0$。
• $r(A+B)\le r(A)+r(B),r(AB)\le min(r(A),r(B))$。
• 若A可逆，则$r(AB)=r(BA)=r(B)$。
• 若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，$AB=O$,则$r(A)+r(B)\le n$。
• 分块矩阵$r\left[\begin{matrix}A&O\\O&B \end{matrix}\right]=r(A)+r(B)$。
• 若$A\sim B$，则$r(A)=r(B),r(A+kE)=r(B+kE)$（第五章）
• $r(A)=A$的行秩$=A$的列秩

设$A$是$m×n$矩阵，$B$是$n×s$矩阵，若$AB=O$，则

（1）$B$的列向量是齐次方程组$Ax=0$的解

（2）$r(A)+r(B)\le n$

四、正交规范化、正交矩阵

1. 内积

定义：设n维向量$\alpha=(a_1,a_2,…,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,…,b_n)^T$，令

$$(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha=\sum_{i=1}^na_ib_i$$

则称$(\alpha,\beta)$为向量$\alpha,\beta$的内积。

性质：

①. $(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$；

②. $λ(\alpha,\beta)=(λ\alpha,\beta)=(\alpha,λ\beta)$；

③. $(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$；

④. $(\alpha,\alpha)\ge 0$，当且仅当$\alpha=0$时等号成立。

定义：模$||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+…+a_n^2}$。

定义：向量$\alpha,\beta$夹角的余弦：

$$\cos (\hat{\alpha,\beta})=\frac{(\alpha,\beta)}{||\alpha||·||\beta||}$$

当$(\alpha,\beta)=0$时，$\alpha,\beta$正交。

2. 施密特正交化

①先正交化：

$$\begin{aligned} \beta_1&=\alpha_1\\ \beta_2&=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1\\ \beta_3&=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 \end{aligned}$$

②. 再单位化：

$$\eta_1=\frac{\beta_1}{|\beta_1|},\eta_2=\frac{\beta_2}{|\beta_2|},\eta_3=\frac{\beta_3}{|\beta_3|}$$

3. 正交矩阵

定义：设A为n阶矩阵，$AA^T=A^TA=E$，称A为正交矩阵。

定理：A是正交矩阵，则$A^T=A^{-1}$，A的行（列）向量都是单位向量且两两正交。

定理：如$A$是正交矩阵，则$|A|=\pm 1$。

五、向量空间

定义：全体$n$维向量连同向量的加法和数乘运算合称为$n$维向量空间。

定义：设$W$是$n$维向量的非空集合，若满足：

• $\forall \alpha,\beta∈W$，必有$\alpha+\beta∈W$
• $\forall \alpha∈W$及任一实数$k$，必有$k\alpha∈W$

则称$W$是$n$维向量的子空间。当$W$是齐次方程组$Ax=0$的解向量的集合时， 也称为解空间。

定义：如果向量空间$V$中的$m$个向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$满足

• $\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$线性无关
• $V$中任意向量$\beta$均可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$线性表出

则称$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$为向量空间$V$的一组基底（基）；$m$为维数，$dimV=m$；$x_1,x_2,…,x_m$为坐标。

定义：设$e_1,e_2,…,e_n$是向量空间的一组基，若它们满足：

$$(e_i,e_j)=\begin{cases} 1&,{i=j}\\ 0&,{i\ne j} \end{cases}$$

则称$e_1,e_2,…,e_n$为规范正交基。

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定义：在$n$维向量空间给定两组基：$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$，$\beta_1,\beta_2,…,\beta_n$，若：

$$\beta_1=c_{11}\alpha_1+c_{21}\alpha_2+...+c_{n1}\alpha_n\\ \beta_2=c_{12}\alpha_1+c_{22}\alpha_2+...+c_{n2}\alpha_n\\ ......\\ \beta_n=c_{1n}\alpha_1+c_{2n}\alpha_2+...+c_{nn}\alpha_n\\$$

即

$$[\beta_1,\beta_2,...\beta_n]=[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n]C$$

则称矩阵$C$为由基$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$到基$\beta_1,\beta_2,…,\beta_n$的过渡矩阵

定理（关于过渡矩阵）

①. 如果$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$与$\beta_1,\beta_2,…,\beta_n$是$n$维向量空间的两个基底，则由基$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$到$\beta_1,\beta_2,…,\beta_n$的过渡矩阵$C$是可逆矩阵

②. 如果向量$\gamma$在基底$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$的坐标为$x_1,x_2,…,x_n$，向量$\gamma$在基底$\beta_1,\beta_2,…,\beta_n$的坐标为$y_1,y_2,…,y_n$，则坐标变换公式为

$$\left[\begin{matrix} x_1\\x_2\\:\\x_n \end{matrix}\right]=C \left[\begin{matrix} y_1\\y_2\\:\\y_n \end{matrix}\right]\quad 或\quad x=Cy$$

③. 若$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$非零且两两正交，则$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$线性无关。

④. 若$e_1,e_2,…,e_n$是规范正交基，设

$$[\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_n]=[e_1,e_2,...,e_n]C$$

则$\epsilon_1,\epsilon_2,…,\epsilon_n$是规范正交基的充要条件是$C$为正交矩阵。

技巧知识点

①. $r(A\quad AB)= r(A)$一定成立$, r(A\quad BA)=r(A)$不一定成立。（从列秩的角度考虑）

②. $AB$的列向量组可用$A$的列向量线性表示， $AB$的行向量组可用$B$的行向量线性表示，

③. 两个同类型的矩阵等价与它们的行（列）向量组等价的关系：行（列）向量组等价$\Rightarrow$矩阵等价；矩阵等价$\nRightarrow$行（列）向量组等价。例如矩阵$\left[\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}\right]$和$\left[\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}\right]$