数一高数 第九章：二重积分

一、二重积分的概念和性质

1. 概念

定义

$$\iint_D f(x,y)dσ=\lim_{λ→0}\sum_{i=1}^nf(ξ_i,η_i)△σ_i$$

几何意义：以区域$D$为底，$f(x,y)$为曲顶的曲顶柱体的体积。

2. 性质

①. 不等式性质：

（1）若在$D$上$f(x,y)\le g(x,y)$，则

$$\iint_Df(x,y)d\sigma \le \iint_Dg(x,y)d\sigma$$

（2）若在$D$上$m\le f(x,y)\le M$，则

$$m\sigma \le \iint_Df(x,y)d\sigma \le M\sigma$$

其中$\sigma$为区域$D$的面积。

（3）

$$|\iint_Df(x,y)d\sigma|\le \iint_D{|f(x,y)|{d\sigma}}$$

②. 中值定理

设$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$S$为$D$面积，则在$D$上至少存在一点$(ξ,η)$，使得

$$\iint_Df(x,y)d\sigma =f(\xi,\eta)·S$$

二、二重积分的计算

重点

1. 利用直角坐标计算

先$x$后$y$、先$y$后$x$

2. 利用极坐标计算

先$ρ$后$\theta$

$$\iint_Df(x,y)d\sigma =\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(x,y)ρdρ$$

适合极坐标计算的被积函数：$f(\sqrt{x^2+y^2})$,$f(\frac yx)$,$f(\frac xy)$

3. 利用函数的奇偶性计算

①. 区域$D$关于$y$轴对称，$f(x,y)$关于$x$有奇偶性，则

②. 区域$D$关于$x$轴对称，$f(x,y)$关于$y$有奇偶性，则

4. 利用变量的轮换对称性计算

若积分域$D$具有轮换对称性，即关于$y=x$对称，则$y,x$可对调：

$$\iint_Df(x,y)d\sigma =\iint_Df(y,x)d\sigma$$

技巧知识点

①. 二重积分的求导：

$$F(x)=\int_{0}^xdy\int_{0}^{y^2}\frac{\sin t}{1+t^2}dt\\ 令g(y)=\int_{0}^{y^2}\frac{\sin t}{1+t^2}dt\\ F(x)=\int_0^xg(y)dy,F'(x)=g(x)=\int_0^{x^2}\frac{\sin t}{1+t^2}dt\\ F''(x)=g'(x)=\frac{2x\sin x^2}{1+x^4}$$

题型总结（强化）

见：数一高数 第十二章：多元积分学及其应用