合工大超越五套卷总结
第一套
- 第2题：$\lim_{x\to 0}\frac{f(1-\cos x,e^{x^2}-1)}{x^2}=\lim_{x\to 0 }\frac{f’_x(0,0)(1-\cos x)+f’_y(0,0)(e^{x^2}-1)+o(\sqrt{(1-\cos x)^2+\sqrt{e^{x^2}-1}^2})}{x^2}$
- 第3题：$A,m×n,r(A)=m$，则$A$一定可以只经过一系列的初等列变换化为$(E_m,O)$；$A^Tx=0$只有零解，即$\forall x\ne 0,x^TAA^Tx>0$
- 第9题：$E(\hat σ^2-σ^2)^2=E[(\hat σ^2-σ^2)^2]$，$\frac{\sum{(x_i-\overline x)^2}}{σ^2}\sim χ_{n-1}^2$
- 第12题：注意问的是$f(x)$！！
- 第13题：求旋转曲面，先化成参数方程$x=t,y=t,z=2t^2$，可得旋转曲面方程是$x^2+y^2=z$
用到的公式:
由参数方程：$\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\\z=h(t) \end{cases}(t∈(\alpha,\beta))$，得到旋转面的参数方程：
- 第17题：$\lim_{x\to 0}\frac{f(u)}{f(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f(0)+f’(0)u+\frac{f’’(0)}{2!}u^2+o(u^2)}{f(0)+f’(0))x+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+o(x^2)}=\lim_{x\to 0}\frac{u^2}{x^2}$
- 第19题：需要注意隐函数求导的方法：对$F(x^2+z^2,y^2+z^2)=0$求导
①. 法一
②. 法二
第20题：求$x^2+y^2=2y$绕$x$轴旋转的体积：$V=\pi \int_{-1}^1(1+\sqrt{1+x^2})^2dx-\pi \int_{-1}^1(1+\sqrt{1-x^2})^2dx$
第21题：第一问通过$tr(A)=\sum \lambda_i$就可算出来另一个特征值；第二问求标准型应首先把$A$化为对称矩阵，即$\frac{A+A^T}{2}$
第二套
- 第7题，$r\begin{vmatrix}1&x_1\\1&x_2 \end{vmatrix}=x_2-x_1\ne 0$，故$r\bigg(\left[\begin{matrix}1&x_1&x_1^2&x_1^3\\1&x_2&x_2^2&x_2^3 \end{matrix}\right]\bigg)=2$，故基础解系有两个线性无关的向量
- 第15题，$A$对称，则$A^\star$也对称，$r(A^\star)=1$，特征值为$3,0,0,…$，$3$对应的特征向量为$[1,1,…,1]^T$，则由$x_1+x_2+…+x_n=0$可以求得$0$对应的所有特征向量，这也就是$A^\star x=0$的解向量。
第三套
有了整体思路后再动笔，不要边想思路边计算，这样一方面可能会导致思路没想清楚，另一方面很有可能会计算出现错误。
- 第4题，可以用轮换对称性，$\iint_D y^2e^{4-x^2-y^2}dxdy=\frac12\iint_D(x^2+y^2)e^{4-x^2-y^2}dxdy$
第6题反例：
第11题：两种方法：①. $\sqrt{x^2+y^2}=\arctan \frac yx$，两边对$x$求导得到，注意$\frac{d^2y}{dx^2}$和$(\frac{dy}{dx})^2$不用混淆；②. $\begin{cases}x=\theta \cos \theta\\y=\theta \sin \theta \end{cases}$
第19题：注意$Ω_1$的形状！！而且$z=\frac R2$时的截面圆方程是$x^2+y^2+\frac{R^2}{4}\le R^2$，不是$x^2+y^2\le \frac 14 R^2$
第20题：$(1+\frac1x)^{x+\alpha}>e$不等同于$(1+\frac1x)>e^{-x-\alpha}$，而是$(1+\frac1x)>e^{\frac1{x+\alpha}}!$ 正解为提取$\alpha>\frac{1}{\ln(1+\frac1x)}-x$，然后令$t=\frac{1}x$，构造函数求解。
- 第21题：第一问是爪型行列式，从第一行往下消，最后可以变成对角的。
- 第22题：注意！$Y=|X-\mu|+\mu\ge \mu$，所以当$y\le\mu$时，$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=0$！；另外只有$X$是离散的时候，比如$P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac12$，才有$P\{|X-\mu|+\mu\le y\}=\frac12P\{X\le y\}+\frac12P\{2\mu-X\le y\}$，本题$X\sim N(\mu,σ^2)$，$P\{Y\le y\}=P\{2\mu-y\le x\le y\}$
第四套
既要保持草稿整洁，又要保持头脑清晰。
第3题：$\int_{0}^1|\frac1{x^2\ln x}|dx>\int_{0}^1|\frac1{x\ln x}|dx=+\infty$，$\lim_{n\to \infty}\frac{\cos ^2x}{(x+\sin x)\cdot \sqrt{1+x}}/\frac{1}{x^{3/2}}=\frac12\cos ^2 1$
第4题：当$c=0$时，$AB=cE$推不出$AB=BA$，$(AB)^2=A^2B^2$也推不出
- 第5题：当$A$列满秩时，$ABx=0$与$Bx=0$同解
第10题：$X\sim χ_m^2,Y\sim χ^2_n$，则$\frac{X/m}{Y/n}\sim F_{m,n}$
第13题：①. 设$P_0(x_0,y_0,z_0)$，求得切平面方程为$3x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)-z_0(z-z_0)=0$；②. 求出直线上一点$P_1(\frac{27}8,-2,\frac{11}8)$和直线切向量$(0,1,1)$；③. 切平面的法向向量与直线切向量相乘$=0$，可得$x_0=\pm 3$，④. 将$P_1$和$x_0=\pm3$代入切平面方程求$y_0,z_0$。（用平面束的方法也可以做）
- 第14题：先利用拉格朗日定理：$f(n)-f(n-1)=f’(ξ),n-1<ξ
- 第15题：注意条件分布的求解。
第五套
第2题：$\lim_{x\to0,y\to 0}\frac{\sin (x^2+y^2)}{x^2+y^2}=1$,$\lim_{x\to0,y\to0}f(x,y)=xy^2+(1+\alpha)(x^2+y^2)$
第3题：构造函数$F(x)=e^{-x}\int_0^x f(t)dt$
第6题：①. $A^2=O$,可得$A\alpha=\lambda \alpha,A^2\alpha=A\lambda \alpha=\lambda^2\alpha=0$，故$A$只有$n$重特征值$0$，如果$A$可以相似对角化，则$\lambda=0$一定对应$n$个特征向量，则$r(A)=n-n=0,A=0$；故$A\ne0$时$A$必不可相似对角化；②. 从$A^3+A^2+A-3E=0$可得$(\lambda^2+2\lambda+3)(\lambda-1)=0$，$A$只有一个特征值$\lambda=0$，如果$A$可相似对角化，那么$r(E-A)=n-n=0,$即$A$一定是$E$
第11题：原式$=\int_0^1 \frac1{\sqrt{1+x^2}}dx=\int_0^2 \frac1{\sqrt{4+x^2}}dx$。$\int\frac1{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+c,\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln(x+\sqrt{1+x^2})+c$
第12题：$x<0$时和$x>0$时的常数系数$C$不一样，分别是$C_1,C_2$和$C_3,C_4$
- 第15题：$f\ge 0$，故$q=0$，故$\begin{cases}x_1+ax_2=0\\ x_2+bx_3=0\\x_3+cx_1=0 \end{cases}$有非零解。
第18题：$A,B,C$构成一个三角形，$S_{△}=\frac12|\vec{AB}×\vec{AC}|$
第21题，$A^TAx=0$和$Ax=0$同解；当$Ax=0$只有零解，即当$x\ne (0,0,0)$时$Ax\ne 0$，故$x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)>0$，$A^TA$正定，$f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$
第22题，在$0<X<\frac12$的条件下，求$Y$的条件密度函数，要注意范围。
