数一线代 第六章：二次型

一、二次型及其标准型

二次型

定义： n个变量的一个二次齐次多项式

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,..,x_n)=a_{11}x_1^2+&2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+...+2a_{1n}x_1x_n\\ &+a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+...+2a_{2n}x_2x_n\\ &\quad\quad +...+a_{nn}x_n^2 \end{aligned}$$

称为n个变量的二次型。

若$a_{ij}=a_{ji},i<j$，则二次型可写成矩阵形式：

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,...,x_n)&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j\\ &=[x_1,x_2,...,x_n]\left[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ :&:&&:\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_1\\x_2\\:\\x_n \end{matrix}\right]=x^TAx \end{aligned}$$

其中A是对称矩阵，称为二次型$f$的对应矩阵。

二次型矩阵一定是对称矩阵！

标准形

定义：二次型$f(x_1,x_2,…,x_n)$只有平方项，没有混合项，即

$$f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx=a_1x_1^2+a_2x_2^2+...+a_nx_n^2$$

规范形：在二次型的标准形中，拖平方项的系数只能是1,-1,0，则称为二次型的规范形。

二次型的标准形不唯一，但规范形唯一（由其正负惯性指数决定的）。

正、负惯性指数：在二次型的标准型中，正平方项的个数$p$称为二次型的正惯性指数。负平方项的个数$q$称为二次型的负惯性指数。

二次型的秩

二次型的秩：二次型$x^TAx$矩阵$A$的秩称为二次型的秩。

合同

合同：若$C^TAC=B$，$C$可逆，称矩阵$A$和$B$合同，记$A\simeq B$.

合同的性质：

• 反身性：$A\simeq A$
• 对称性：若$A\simeq B$，则$B\simeq A$
• 传递性：若$A\simeq B,B\simeq C$，则$A\simeq C$

两同阶矩阵特征值相同不一定合同，这两个矩阵还必须是实对称矩阵，才有两矩阵合同。（二次型矩阵一定是对称矩阵）

若$A\simeq B，C^TAC=B$，则$|C|^2|A|=|B|$，A、B行列式的值有相同的正负号（合同的必要条件）。

坐标变换：

$$\begin{cases} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+c_{13}y_3\\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+c_{23}y_3\\ x_3=c_{31}y_1+c_{32}y_2+c_{33}y_3 \end{cases}\quad |C|\ne 0$$ $$\left[\begin{matrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} c_{11}&c_{12}&c_{13}\\ c_{21}&c_{22}&c_{23}\\ c_{31}&c_{32}&c_{33} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{matrix}\right]\quad \leftrightarrow \quad x=Cy$$

二次型$x^TAx$经坐标变换$x=Cy$后，称为$y^TBy$，其中$B=C^TAC$，则$A,B$合同。

惯性定理：二次型$X^TAX$经坐标变换化为标准形，其正惯性指数和负惯性指数是唯一确定的；即合同的充分必要条件是正负惯性指数都一样。

由惯性定理知，$A\simeq B\leftrightarrow p_A=p_B,q_A=q_B$

相关定理

定理1（配方法）：任意一个n元二次型$f(x_1,x_2,…,x_n)=x^TAx$，都可以通过（配方法）可逆线性变换$x=Cy$，其中$C$是可逆矩阵，化二次型为标准形，即

$$f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx=..[x=Cy]..=y^TC^TACy=d_1y^2_1+d_2y^2_2+...+d_ny_n^2$$

推论：任一n元二次型$f=X^TAX$都存在坐标变换$x=Cy$，使$f$化为规范形。（经过两次坐标变换，先转换为标准形，再经过伸缩的坐标变换转换为规范形）。

配方技巧：

1. 先配$x_1$
2. 没有平方项的情况：先做一个辅助的坐标变换：$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$

☆☆☆定理2（正交变换法）：任意一个n元二次型$f(x_1,x_2,…,x_n)=x^TAx$，存在正交变换$x=Qy$，使$f$化为标准形，其中$Q$是正交阵，即

$$f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx=..[x=Qy]..=y^TQ^TAQy=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2$$

其中$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$是$A$的n个特征值。即A必既相似又合同于对角阵。

二、正定二次型

定义（正定）：若对于任意的非零向量$x=(x_1,x_2,…,x_n)^T$，恒有

$$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j=x^TAx>0$$

则称二次型$f$为正定二次型， 对应矩阵为正定矩阵。

定理：可逆线性变换不改变二次型的正定性。

由定理知，对一般的二次型应设法转换成标准型，看$d_i$是否均大于0 来判别其正定性。

定理：$f$正定的充要条件：

$f(x_1,x_2,….,x_n)=x^TAx$正定

$\leftrightarrow A$的正惯性指数$p=n$

$\leftrightarrow A\simeq E$，即存在可逆阵$C$，使得$C^TAC=E$

$\leftrightarrow A=D^TD$，其中$D$是可逆阵

$\leftrightarrow A$的全部特征值$\lambda_i>0,i=1,2,…,n$

$\leftrightarrow A$的全部顺序主子式大于0

定理：$f=x^TAx$正定的必要条件

若二次型$f(x_1,x_2,…,x_n)=x^TAx$正定，则

①. $A$的主对角元素$a_{ii}>0$

②. $|A|>0$

矩阵的等价、相似、合同的区别

①. $A$和$B$均为$m×n$矩阵，即同型矩阵

$A$与$B$等价$\Leftrightarrow A$经过初等变换得到$B$

         $\Leftrightarrow PAQ=B$，其中$P,Q$可逆

         $\Leftrightarrow r(A)=r(B)$（主要根据秩来判断矩阵等价）

②. $A$和$B$均为$n$阶矩阵

$A$与$B$相似$\Leftrightarrow \exists$可逆矩阵$P$，使$P^{-1}AP=B$

• $A\sim \Lambda,B\sim \Lambda \Rightarrow A\sim B$

• 不相似的判定

  • $\lambda_A\ne \lambda_B $或$r(A)\ne r(B)$或$|A|\ne |B|$或$\sum a_{ii}\ne \sum b_{ii}$
  • $A\sim \Lambda$但$B$不能相似对角化

• 对于实对称矩阵$A,B$，$A\sim B\Leftrightarrow \lambda_A=\lambda_B$

③. $A$和$B$均为$n$阶实对称矩阵

$A$与$B$合同$\Leftrightarrow C^TAC=B$，其中$C$可逆

         $\Leftrightarrow A,B$有相同的正负惯性系数

实对称矩阵相似一定合同，合同不一定相似。