考研复试 数字信号处理

第二章 离散时间信号和系统

○ 通过取样可将连续信号转变成离散信号

○ 奈奎斯特取样定理：取样频率大于等于2f_m（f_m是信号的最高频率分量），可将离散信号无失真恢复原信号

○ 频域抽样定理：由于频域抽样会造成时域上的周期延拓，故只有当抽样点数N大于或等于序列长度M时，频域抽样后得到的频谱才能无失真还原出原序列，否则会产生时域的混叠失真。

○ 减小信号的采样率以减少数据冗余的过程称为信号的抽取。

○ 内插是增大信号的采样率以增加数据冗余度的过程称为信号的内插。理想低通特性的内插函数是sinc函数。

○ 有限冲激响应（FIR，又称非递归）和无限冲激响应（IIR，又称递归）因果系统的概念和区别：FIR系统是当前的输出仅仅取决于输入的当前值和过去值，输出对输入无反馈；IIR系统是当前的输出还取决于输出的过去值

○ 序列的离散傅里叶变换是$\omega$的周期函数，周期为$2\pi$

○ z变换和拉普拉斯变换之间的映射：$z=e^{sT}$。s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上，s平面的右半平面映射到z平面单位圆外，s平面的左半平面映射到z平面单位圆内。

○ 适当地控制极点、零点分布就可改变数字滤波器的频率响应特性。单位圆附近零点位置将对幅度响应 凹谷的位置与深度有影响， 零点在单位圆上，则为谷点且为0，单位圆附近极点位置将对幅度响应 凸峰的位置和深度有影响， z平面原点处的零极点 不影响系统的幅频响应。

第三章 DFT和FFT

○ DFT是DTFT的一种有效近似，DFT以有限长的序列为处理对象，其频域也是离散的（主值区间）；即DFT是有限长信号的傅里叶表示，DTFT是无限长信号的傅里叶表示，DFT是DTFT在$\frac{2\pi}{N}k$处的采样

○ 为什么DTFT无法为实际的数字系统直接采纳? 1. 虽然$x(n)$是离散量，但$X(e^{j\omega})$是模拟量；2. 数字系统无法直接处理无限长或很长的序列

○ 周期卷积的特殊性：参与该卷积运算的是周期序列，其周期相同，计算仅在一个周期上进行，计算结果仍为周期序列，周期保持不变。（周期卷积等同于两个周期序列在一个周期上的线性卷积计算）

○ 频域上，对$X(e^{j\omega})$进行取样可获得周期序列$\tilde X(k)$，而时域上，对$x(n)$作周期性延拓相加则得到了周期序列$\tilde x(n)$；$X(e^{j\omega})$是$\tilde X(k)$的主值序列，$x(n)$是$\tilde x(n)$的主值序列

○ 从DTFT的角度看，有限长序列DFT结果包含了N个离散频率点处的DTFT结果，这N个离散频率的等间隔地分布在区间$[0,2\pi)$内；如果从Z变换的角度来看，DFT结果包含了Z平面上N个离散点处的Z变换结果，这N个离散点均匀的分布在单位圆上，即DFT是单位圆上的取样Z变换。DTFT是单位圆上的z变换。

○ 循环卷积和周期卷积关系：循环卷积结果是周期卷积结果的主值序列

○ 循环卷积和线性卷积关系：在时域上以一定周期对线性卷积结果作延拓相加得到一周期序列，这个周期序列的主值序列就是序列的循环卷积结果。对序列$x(n)$和$h(n)$作$N_1+N_2-1$点循环卷积，其结果与线性卷积结果相同

○ DFT的栅栏效应：就任何一个有限长序列而言，其DFT结果仅能直接反映有限个离散频率点处该序列所表现出的特性，无法直接反映其全貌。减少栅栏效应的措施：1. 增加频域抽样点数；2. 在时域数据末端添加一些零值的点，使一个周期内点数增加

○ DFT出现偏差的原因：1. 频域混叠：如果信号不具备限带的特点，或者取样角频率不满足奈奎斯特条件，会发生频域混叠；2. 频谱泄露：由于窗函数在时域上的长度是有限的，其频率中包含了较为丰富的高频分量，频谱泄露是由时域加窗处理所导致的一个必然结果。减少频谱泄露的措施：1. 取更长的数据，即窗宽加宽；2. 窗函数不突然截断，要缓慢截断，利用三角形窗、升余弦窗等。

○ FFT的核心思想：通过迭代，反复利用低点数的DFT完成高点数的DFT计算，以此达到降低运算量的目的。（Through iteration, the DFT of low points is repeatedly used to complete the DFT calculation of high points, so as to reduce the amount of calculation）

○ N点DFT的直接计算需要完成$N^2$次复乘和$N(N-1)$次复加，基2时域抽取算法共需完成$\frac N2\log_2 N$次复乘和$N\log_2 N$次复加。基2时域抽取算法要求待求的DFT点数为2的整数次幂，所以有时需要在末尾补上若干个0。

○ 基2频域抽取算法的信号流图和基2时域抽取算法的信号流图互为转置

第四章 IIR滤波器设计

○ 设计IIR数字滤波器的思路：先设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器（巴特沃兹型、切比雪夫型），然后利用脉冲响应不变法或双线性变换法设计数字滤波器来逼近模拟原型滤波器的指标。

○ 巴特沃斯滤波器有非常平滑的通带，但代价是有较宽的过渡带；相反，切比雪夫滤波器具有陡峭的过渡带，但通带内是波动的。

○ 巴特沃兹低通滤波器的特点：所有特性曲线都通过-3dB点（3dB不变性），频率特性在通带、阻带都随频率而单调变化，这样就会导致若在通带边缘截止频率满足指标，通带内将有富裕量。切比雪夫滤波器的幅度特性在通带或阻带具有等波纹特性。

○ 设计IIR数字滤波器的两种方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。

○ 脉冲响应不变法的原理：把模拟滤波器的脉冲响应进行等间隔抽样，作为数字滤波器的单位样值响应，然后z变换即可。

○ 双线性变换法：先把s面压缩，使H(s)带限，然后再变换到z平面，这样频域就不会混叠。之所以叫双线性是因为s与z的两条公式中，分子分母都是变量的线性函数。

○ 脉冲响应不变法和双线性变换法的应用都有什么限制？

脉冲响应不变法不能用于将模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器，因为频响严重混叠；

双线性变换法不能将模拟微分器转换成数字微分器，因为由频响畸变导致具有线性幅度响应的模拟微分器映射到数字系统成为非线性的幅度响应。

第五章 FIR滤波器设计

○ 设计线性相位FIR数字滤波器需要满足恒延时的条件， 包括恒相延时和恒群延时，此时相位函数必须是一条经过原点的直线。

○ 实现恒相延时和恒群延时同时成立的线性相位滤波器的条件是：系统冲激响应$h(n)$关于中心轴$(N-1)/2$偶对称。

○ 第一类线性相位时，当N为奇数，关于0,π,2π偶对称，适合各种滤波器；当N为偶数，关于0,2π偶对称，可设计低通、带通。第二类线性相位，当N为奇数，关于0,π,2π奇对称，只能设计带通；当N为偶数，关于0,2π奇对称，可设计高通、带通。

○ FIR的零点分布特点：若$z_i$是$H(z)$的零点，其倒数$z_i^{-1}$也是其零点；因为$h(n)$是实序列，$H(z)$的零点必共轭成对出现，所以$z^\star_i$和$(z_i^{-1})^\star$也是其零点。

○ 对于理想滤波器来说，其频率响应特性一般是分段不连续的，对应于时域中，其冲激响应必定具有无限时宽，因此需要一个有限长冲激响应序列来逼近无限长冲激响应序列，窗函数法就是利用窗函数来对无限长冲激响应序列进行截断，来寻找物理可实现的频率响应去逼近理想的频率响应。

○ 常见的窗函数均为偶对称函数，具有线性相位特性，包括矩形窗（阻带衰减不够，会引起很强的吉布斯效应），三角窗（阻带衰减性能改善，代价是过渡带加宽），升余弦窗<包括汉宁窗（能量更集中在主瓣，但主瓣宽度增加；阻带衰减性能改善，但过渡带也明显增大），汉明窗（改进的升余弦窗），布莱克曼窗（二阶升余弦窗）>

○ 吉布斯效应：在时域描述一个不连续的信号要求信号有无穷的频率成分，但实际情况中不可能采样到无穷的频率成分。实际中的信号采样系统只能采样一定的频率范围，对不连续信号（或有无穷频率成分的信号）采样将会存在频率截断。频率截断会引起时域信号在不连续处产生“振铃效应”，这个现象称为吉布斯现象。

○ 怎么消除吉布斯现象：一是镶边法，即在原来不连续的理想频率响应的每边镶上两个连续变化的边；另是乘因子法，在时间域上将原脉冲响应乘上一个衰减因子。

○ IIR数字滤波器和FIR数字滤波器的优缺点：IIR数字滤波器的优点：可利用模拟滤波器设计的结果，且有大量的图表可查；缺点：相位的非线性（可用全通网络进行相位修正）。FIR数字滤波器的优点：具有严格的线性相位，一定稳定（极点在0处），可用FFT运算，提高运算效率。缺点是阶次比IIR滤波器高。

○ 为什么FIR可以采用线性滤波器而IIR不可以？信号通过滤波器系统可以看做信号与滤波器单位脉冲响应h(n)的卷积；无限脉冲响应IIR滤波器，h(n)无限长，无法通过卷积实现滤波；FIR滤波器可以通过卷积实现滤波，所以可以通过FFT来实现卷积的快速运算。