时延扩展和相干带宽的关系
the relationship between channel delay spread and coherent bandwidth
时延扩展
时延扩展[delay spread]：多条路径经过不同时间到达（多径传播导致）。
相干带宽
相干带宽[Coherence bandwidth]：是指某一特定的频率范围，在该频率范围内的任意两个频率分量都具有很强的幅度相关性，即在相干带宽范围内，多径信道具有恒定的增益和线性相位。
两个连续波谷（或两个连续波峰）之间的距离 （以Hz为单位）大致与多径时间成反比。
$B_c$为相干带宽，$T_d=τ_{max}$为信道的最大时延。
相干是指相干带宽内的频率成分幅度很接近。
频域选择性衰落与平坦衰落
在时域上看，如果发送的符号/码元周期$T$远小于时延扩展$T_d$，那么接收端由于多径时延，接收信号中的一个符号的波形会扩展到其他符号当中， 造成符号间干扰 （InterSymbol Interference，ISI），即码间串扰。从频域上看，符号周期$T_d\lt\lt T_d$等效于$\frac 1{T}\gt\gt\frac 1{T_d}$，即信号带宽或者信号速率远大于相干带宽时， 信号通过无线信道后某些频率成分信号的幅值可以增强（相位相同，幅值叠加），而另外一些频率成分信号的幅值会被削弱（相位相反，幅值相消），引起信号波形的失真，此时就认为发生了频率选择性衰落。
相反，
在时域上看，符号周期远大于时延扩展$T\gt\gt T_d$时，多径时延的影响就很小，没有符号间干扰。从频域上看，信号带宽远小于相干带宽即$\frac 1{T}\gt\gt \frac1{T_d}$，接收端的信号通过无线信道后各频率分量都受到相同的衰落（由于各频率成分比较接近，经多条路径到达接收端后相位也很接近，各频率成分各自叠加后的幅度也很接近），因而衰落波形不会失真，则认为信号只是经历了平坦衰落， 即非频率选择性衰落。
应用：为了对抗频率选择性衰落，人们采用了正交频分复用（OFDM）技术，该技术将宽带信号分成很多子带，频域上分成很多子载波发送出去，每个子带的信号带宽由于小于相干带宽，从而减少甚至避免了频率选择性衰落。 这也是在讲OFDM前介绍多径传播和衰落的原因。
关系的推导
设有两条多径路径，模型为：
则经傅里叶变换之后，得到：
可得频率响应函数的幅度：
其中时延扩展$T_d=τ_2-τ_1$，替换后为：
当$2πf_1T_d=2nπ$时，有最大值$a_1+a_2$；
当$2πf_2T_d=(2n+1)\pi$时，有最小值$a_1-a_2$。
则相减得：
$H(f)$是一个周期函数，且一个周期时两个最大值或两个最小值之间的距离，$△f$是最大值和最小值之间的距离，则$2△f$是两个最小值之间的距离，即相干带宽$B_c$，则有：
由上图便可以看出，当传输信号的带宽远小于$2△f$时，各个信号频率分量的衰减程度就会差不多，这样就可以解决多径传播带来了信道时延扩展问题。
参考链接：
