DSP 第七章：FIR滤波器的设计

题型

①. 由给出的FIR滤波器的单位脉冲响应，说明其幅度特性和相位特性；

②. 由给出的FIR滤波器的系统函数求出其单位脉冲响应，并求其幅度特性函数和相位特性函数；

③. 利用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波，根据给出的频率响应函数求滤波器的单位脉冲响应（傅里叶逆变换），并写出加矩形窗之后的单位脉冲响应表达式，最后说出$N$的取值要求；（矩形窗的参数要记）

④. 给出模拟技术指标，用窗函数法设计线性相位低（高）通滤波器，选择最合适的窗函数（窗函数的时域函数要记）。

引言

FIR数字滤波器的差分方程：

$$y(n)=\sum_{i=0}^{N-1}a_ix(n-i)=\sum_{i=0}^{N-1}h(i)x(n-i)$$

对应的系统函数：

$$H(z)=\sum_{i=0}^{N-1}a_iz^{-i}=\sum_{i=0}^{N-1}h(i)z^{-i}$$

7.1 线性相位FIR滤波器的条件和特点

7.1.1 线性相位条件

对于长度为$N$的实序列$h(n)$，传输函数为：

$$H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}$$ $$H(e^{j\omega})=H_g(\omega)e^{j\theta(\omega)}=\pm|H(e^{j\omega})|e^{j\beta(\omega)}$$

第一类线性相位

条件：

$$\begin{cases} \theta(\omega)=-\omegaτ,&{τ=\frac{N-1}2}\\ h(n)=h(N-1-n),&{0≤n≤N-1} \end{cases}$$

幅度特性$H_g(\omega)$的特点：

①. 当$N$为奇数时：

$$H_g(\omega)=h(τ)+\sum_{n=0}^{(N-3)/2}2h(n)cos[\omega(n-τ)]$$

$H_g(\omega)$关于$\omega=0,π,2π$偶对称，适合设计各种滤波器。

②. 当$N$为偶数时：

$$H_g(\omega)=\sum_{n=0}^{N/2-1}2h(n)cos[\omega(n-τ)]$$

$H_g(\omega)$关于$\omega=0,2π$偶对称，关于$\omega=π$奇对称，可设计低、带通滤波器，不能用于设计高通、带阻滤波器。

第二类线性相位

条件：

$$\begin{cases} \theta(\omega)=-\omegaτ-\fracπ2,&{τ=\frac{N-1}2}\\ h(n)=-h(N-1-n),&{0≤n≤N-1} \end{cases}$$

幅度特性$H_g(\omega)$的特点：

①. 当$N$为奇数时：

$$H_g(\omega)=\sum_{n=0}^{(N-3)/2}2h(n)sin[\omega(n-τ)]$$

$H_g(\omega)$关于$\omega=0,π,2π$奇对称，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。

②. 当$N$为偶数时：

$$H_g(\omega)=\sum_{n=0}^{\frac N2-1}2h(n)sin[\omega(n-τ)]$$

$H_g(\omega)$关于$\omega=0,2π$奇对称，在$\omega=π$处偶对称，可设计高通、带通滤波器，不能用作低通、带阻滤波器的设计。

7.1.2 零点分布特点

$$H(z)=\pm z^{-(N-1)}H(z^{-1})$$

故若$z_i$是$H(z)$的零点，其倒数$z_i^{-1}$也是其零点；

因为$h(n)$是实序列，$H(z)$的零点必共轭成对出现，所以$z^\star_i$和$(z_i^{-1})^\star$也是其零点。

综上，线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对，确定一个零点，即可确定另外三个零点。

7.2 FIR滤波器的窗函数设计方法

设计思想：①. 保证线性相位；②. 幅度逼近理想滤波器$H_d(e^{j\omega})$。

时域加窗：对无穷序列$h_d(n)$进行截断；

加窗的影响→吉布斯效应（截断效应）：引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动；

减少吉布斯效应的措施：改变窗函数类型，使其谱函数的主瓣包含更多能量，相应旁瓣幅度更小。（旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减）。

调整窗口长度N只能有效地控制过渡带的宽度，加大N不是减小吉布斯效应的有效方法。

7.2.2 典型窗函数

①. 矩形窗

$$w_R(n)=R_N(n)$$

旁瓣峰值$α_n=-13dB$，过渡带宽度$△B=4π/N$，阻带衰减$α_s=-21dB$。

②. 三角窗

$$w_B(n)= \begin{cases} \frac {2n}{N-1},&{0\le n \le \frac12(N-1)}\\ 2-\frac{2n}{N-1},&{\frac12(N-1)}\lt n\le N-1 \end{cases}$$

③. 汉宁窗——升余弦窗

$$w_{Hn}(n)=0.5[1-cos(\frac {2πn}{N-1})]R_N(n)$$

④. 哈明窗——改进升余弦窗

$$w_{Hm}(n)=[0.54-0.46cos(\frac {2πn}{N-1})]R_N(n)$$

⑤. 布莱克曼窗

$$w_{Bl}(n)=(0.42-0.5cos\frac{2πn}{N-1}+0.08cos\frac{4πn}{N-1})R_N(n)$$

窗函数类型	旁瓣峰值$α_n(dB)$	过渡带宽度$△B$ ：近似值	过渡带宽度$△B$ ：精确值	阻带最小衰减$α_s(dB)$
矩形窗	-13	$4π/N$	$1.8π/N$	-21
三角窗	-25	$8π/N$	$6.1π/N$	-25
汉宁窗	-31	$8π/N$	$6.2π/N$	-44
哈明窗	-41	$8π/N$	$6.6π/N$	-53
布莱克曼窗	-57	$12π/N$	$11π/N$	-74
凯塞窗（ $β=7.865$）	-57		$10π/N$	-80

7.2.3 用窗函数设计FIR滤波器的步骤

过渡带宽度为$4π/N$。

①. 根据过渡带及阻带衰减指标，选择窗函数的类型，并估计窗口长度$N$。

1. 先按照阻带衰减选择窗函数类型：保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数；
2. 根据过渡带宽估计窗口长度$N$。

②. 构造希望逼近的频率响应函数$H_d(e^{j\omega})$

$$H_d(e^{j\omega})=H_{dg}(\omega)e^{-j\omega(N-1)/2}$$

$H_{dg}(e^{j\omega})$应满足（以理想低通为例）：

$$H_{dg}(\omega)= \begin{cases} 1,&{|\omega|\le \omega_c}\\ 0,&{\omega_c\lt|\omega|\leπ} \end{cases}$$

截止频率为：

$$\omega_c=\frac{\omega_p+\omega_s}{2}$$

③. 计算期望滤波器的单位脉冲响应：

$$h_d(n)=\frac1{2π}\int_{-π}^{π}H_d(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$$

如果是理想低通，则：

$$h_d(n)=\frac1{2π}\int_{-π}^{π}e^{-j\omegaα}e^{j\omega n}d\omega=\frac{sin(\omega_c(n-α))}{π(n-α)}$$

其中$α=(N-1)/2$。

④. 加窗得到设计结果：$h(n)=h_d(n)\omega(n)$。