第六章 数理统计的基本概念和抽样分布
6.1 基本概念
6.1.1 总体
总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。
个体：总体中的每个元素。
6.1.2 样本
从一个总体$X$中随机地抽取$n$个个体$X_1,X_2,…,X_n$，由这$n$个个体组成的向量$(X_1,X_2,…,X_n)$称为总体的一个样本。样本中个体的数目称为样本容量 或 样本大小。
样本的二重性：
一方面：在一次具体的观测或试验中，得到样本的具体数据$(x_1,x_2,…,x_n)$，称为样本$(X_1,X_2,…,X_n)$的一个观测值，简称样本观测值。
另一方面：由于每个$X_i(i=1,2,…,n)$受各种随机因素的影响，因此每个$X_i$都是一个随机变量，样本$(X_1,X_2,…,X_n)$则构成一个$n$维随机变量。
（凡是离开一次具体的试验谈及样本$(X_1,X_2,…,X_n)$时，总是把样本看做随机变量）
简单随机样本：
①. 独立性：要求$(X_1,X_2,…,X_n)$是相互独立的随机变量。
②. 代表性：要求样本的每个个体$X_i$与总体$X$具有相同的分布。
（独立同分布）
6.2 统计量及分布
6.2.1 统计量
定义：设$(X_1,X_2,…,X_n)$是从总体$X$中抽取的一个样本 ，$g(x_1,x_2,…,x_n)$是实值函数且不包含任何未知参数， 则称$g(X_1,X_2,…,X_n)$为统计量。
几种常用的统计量：
第一类：样本矩
设$(X_1,X_2,…,X_n)$是从总体$X$中抽取的容量为$n$的样本：
样本均值：$\overline X=\frac 1 n \sum_{i=1}^nX_i$
样本方差：$S^2=\frac 1 {n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$
样本标准差：$S=\sqrt{\frac 1 {n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}$
样本的k阶原点矩：$A_k=\frac 1 n \sum_{i=1}^n X_i^k ,(k=1,2,…)$
样本的k阶中心矩：$A_k=\frac 1 n \sum_{i=1}^n (X_i-\overline X)^k ,(k=1,2,…)$
$A_1=\overline X$，$M_2=\frac {n-1}nS^2$，记$M_2$为$S_n^2$，即$S_n^2=\frac 1 n \sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$
第二类：次序统计量
定义：设$(X_1,X_2,…,X_n)$是从总体$X$中抽取的容量为$n$的样本，$(x_1,x_2,…,x_n)$是样本观测值，将样本观测值从小到大排列得到$x_{(1)}≤x_{(2)}≤…≤x_{(n)}$，令$X_{(k)}=x_{(k)},k=1,2,…,n$，则称$X_{(1)},X_{(2)},…,X_{(n)}$为样本$(X_1,X_2,…,X_n)$的次序统计量，称$X_{(i)}$为第$i$个次序统计量。
特别地，称$X_{(1)}=min\{X_1,X_2,…,X_n\}$和$X_{(n)}=max\{X_1,X_2,…,X_n\}$为最小次序统计量 和 最大次序统计量，他们的观测值分别被称为最小值和最大值。
概率密度函数：
最小次序统计量$X_{(1)}$：$f_1(x)=n[1-F(x)]^{n-1}f(x)$
最大次序统计量$X_{(2)}$：$f_n(x)=n[F(x)]^{n-1}f(x)$
6.2.2 统计中的常用分布
$χ^2$分布
定义：设随机变量$X_1,X_2,…,X_n$相互独立，且均服从$N(0,1)$分布，则随机变量
所服从的分布是自由度为$n$的$χ^2$分布，记为$Y \sim χ^2_n $。
注：$n=2$时，$χ^2_2$为$λ=\frac 1 2$的指数分布。
当$n$越来越大时，概率密度函数的曲线越来越对称。
性质：
（1）. $Y \sim χ^2_n $，则$E(Y)=n$，$D(Y)=2n$。
（2）. 可加性：$Y_1 \sim χ^2_m$，$Y_2 \sim χ^2_n $，且$Y_1$和$Y_2$相互独立，则$Y_1+Y_2\sim χ^2_{m+n} $
分位点：对于给定的$\alpha(0<\alpha<1)$，称满足条件
的点$χ_\alpha^2(n)$为$χ^2(n)$分布的上$\alpha$分位点。
$t$分布
定义：设随机变量$X\sim N(0,1)$，$Y \sim χ^2_n$，且$X$与$Y$相互独立，则称随机变量
所服从的分布为自由度是$n$的$t$分布，记为$T\sim t_n$。
性质：
（1）. $n=1$时为柯西分布，期望方差不确定；
（2）. $E(T)=0$，$D(T)=\frac n {n-2}，(n>2)$；
（3）. $n→\infty$时，$t$趋于标准正态分布$N(0,1)$；
（4）. $t$分布的尾部比标准正态分布要厚；
（5）. $t$分布的概率密度函数关于$y$轴对称。
分位点：对于给定的$\alpha(0<\alpha<1)$，称满足条件
的点$t_\alpha(n)$为$t(n)$分布的上$\alpha$分位点。由$t$分布的对称性得$t_{1-\alpha}(n)=-t_{\alpha}(n)$
$F$分布
定义：设随机变量$X\sim χ^2_m$，$Y \sim χ^2_n$，且$X$与$Y$相互独立，则称随机变量
所服从的分布为第一自由度是$m$，第二自由度是$n$的$F$分布，记作$F\sim F_{m,n}$。
性质：
（1）. 若$F\sim F_{m,n}(1-\alpha)$，则$1/F \sim F_{n,m}(\alpha)$；
（2）. 若$T\sim t_n$，则$T^2\sim F_{1,n}$。
分位点：对于给定的$\alpha(0<\alpha<1)$，称满足条件
的点$F_\alpha(n_1,n_2)$为$F(n_1,n_2)$分布的上$\alpha$分位点。
6.2.3 抽样分布定理
由于统计量是随机变量，它应有确定的概率分布，成统计量的分布为抽样分布。
抽样分布定理：设$(X_1,X_2,…,X_n)$是来自正态总体$X\sim N(μ,σ^2)$的样本，样本均值为$\overline X = \frac 1 n \sum_{i=1}^nX_i$，样本方差为$S^2=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$，则
（1）. $\overline X \sim N(μ,\frac {σ^2}n)$;
（2）. $\frac {(n-1)S^2}{σ^2}\sim χ^2_{n-1}$,$\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-μ)^2}{σ^2}\sim χ^2_n$；
（3）. $\overline X$与$S^2$相互独立。
定理1：设$(X_1,X_2,…,X_n)$是来自正态总体$X\sim N(μ,σ^2)$的样本，样本均值为$\overline X$，样本方差$S^2$，则
定理2：$(X_1,X_2,…,X_n)$和$(Y_1,Y_2,…,Y_n)$分别是来自正态总体$X\sim N(μ,σ^2)$与$Y\sim N(μ,σ^2)$的相互独立的随机样本。令$\overline X=\frac 1 n\sum_{i=1}^n X_i$，$S_1^2=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$，$\overline Y=\frac 1 m \sum_{j=1}^{m}Y_j$，$S_2^2=\frac 1{m-1}\sum_{i=1}^m(Y_i-\overline Y)^2$，有：
（1）.
（2）.
（3）.若$σ_1^2=σ_2^2=σ^2$，则
解题技巧
①.
②.
