数一高数 第四章：不定积分

一、概念与性质

1. 原函数

对于区间内任意一点，$F’(x)=f(x)$，$F(x)$为$f(x)$在该区间内的原函数。

原函数必然是可导函数，且可导必连续，所以函数的原函数必然连续。

2. 不定积分

$f(x)$的原函数的全体称为$f(x)$的不定积分，记为$\int f(x)dx$

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

3. 不定积分的几何意义

$\int f(x)dx=F(x)+C$在几何上表示一簇积分曲线，这簇曲线对应于横坐标处的切线都相互平行。

4. 原函数存在定理

定理：

若$f(x)$在区间$I$上连续，则$f(x)$在区间$I$上一定存在原函数；

若$f(x)$在区间$I$上有第一类间断点（或$\infty$型第二类间断点），则$f(x)$在区间$I$上没有原函数。

非$\infty$需根据具体$f(x)$函数分析。

5. 不定积分的性质

$$(\int f(x)dx)'=f(x),\quad \quad \quad d\int f(x)dx=f(x)dx$$ $$\int f'(x)dx =f(x)+C, \quad \quad \int df(x)=f(x)+C$$

二、不定积分基本公式

$$\int 0dx=C,\quad \int \frac1xdx=\ln |x|+C$$ $$\int \sec x·\tan xdx=secx+C,\quad \int \csc x·\cot x=-\csc x+C$$ $$\int \frac1{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C,\quad \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}a+C$$ $$\int \frac1{1+x^2}dx=\arctan x+C,\quad \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac1a\arctan \frac xa+C$$ $$\int \frac1{x^2-a^2}dx=\frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln(x+\sqrt{x^2\pm a^2})+C\\$$ $$\int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C,\quad \int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$$ $$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac {a^2}2\arcsin \frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+C$$ $$\int \sqrt{x^2\pm a^2}dx=\frac x2\sqrt{x^2\pm a^2}\pm \frac {a^2}2\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$$

做题总结：

$$\int \frac{1-\ln x}{x^2}dx=\frac{\ln x}{x}+C$$ $$\int \frac{1}{\sin x+1}dx =\tan (\frac x2-\frac π4)+C\quad \int\frac{1}{\cos(x-\fracπ4)+1}dx=\tan (\frac x2-\fracπ8)+C$$ $$\int\frac1{1+\cos x}dx=\int \frac1{2\cos^2\frac{x}{2}}dx=\tan \frac x2+C$$ $$\int \cot xdx=\ln \sin x+C\quad \int-\tan xdx=\ln \cos x+C$$ $$\int \frac1{(1+x^2)^{\frac32}}dx=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+C$$ $$\int \cos 2xdx=\int (\cos^2 x-\sin^2 x)dx=\frac12\sin 2x+C$$

三、三种主要积分法

1. 第一换元积分法（凑微分法）

设$\int f(u)du=F(u)+C$，$u=\varphi (x)$存在连续导数，则

$$\int f[\varphi (x)]\varphi'(x)dx=\int f[\varphi (x)]d\varphi(x)=F(\varphi(x))+C$$

2. 第二换元积分法

设$x=\varphi(t)$是单调的、可导的函数，并且$\varphi’(t)\ne 0$，又

$$\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=F(t)+C$$

则

$$\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(t)]+C$$

常见的变量代换：

①. 三角函数替换：

• 被积函数含有$\sqrt{a^2-x^2}$，令$x=a\sin t(或a\cos t)$

• 被积函数含有$\sqrt{a^2+x^2}$，令$x=a\tan t$

• 被积函数含有$\sqrt{x^2-a^2}$，令$x=a\sec t$

②. 幂函数替换：$t=\sqrt[n]{ax+b}$或$t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$，或同时含有$\sqrt[\alpha]{(ax+b)},\sqrt[\beta]{(ax+b)}$，$\alpha,\beta$公倍数为$\lambda$，可以试用$t=\sqrt[\lambda]{ax+b}$

③. 指数函数替换：$t=e^x,t=a^x$

④. 倒替换：被积函数的分母最高次数高于分子的最高次数时，$x=\frac1t$

3. 分部积分法

$$\int udv=uv-\int vdu$$

四、三类常见可积函数积分

1. 有理函数积分

部分分式法，或加项减项拆或凑微分降幂。

2. 三角有理式积分

万能代换：令$\tan \frac x2=t$，

$$\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac2{1+t^2}dt$$

3. 简单无理函数积分

$$\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$$

令$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$，将其化为有理函数积分进行运算。

技巧知识点

①. 求如下类型积分：

$$\int\frac{\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx\quad\quad \int \frac{\cos x}{a\sin x+b\cos x}dx$$

用左边的为例，可设：

$$\sin x=\alpha(\sin x+\cos x)+\beta(\sin x+\cos x)'=(\alpha-\beta)\sin x+(\alpha+\beta)\cos x$$

可得$\alpha=\frac12,\beta=-\frac12$

②. 求如下类型积分

$$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\int\frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}dx$$

然后再三角替换即可。

③. 做题总结常用凑微分套路：

$$1+\sin x=(\sin \frac x2+\cos \frac x2)^2$$ $$1+\cos x=2\cos^2\frac x2\to 1+\sin x=1+\cos(x-\frac\pi2)=2\cos^2(\frac x2-\frac\pi 4)$$ $$\int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx=\int\frac{1+\frac1 {x^2}}{x^2+\frac1{x^2}}dx=\int\frac{d(x-\frac1x)}{(x-\frac1x)^2+2}$$

题型总结（强化）

与下一章定积分合并：