李林六套卷总结

第一套

得分：135

第2题，考察二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积；$I_1$是半球体的体积，$I_2$是锥体的体积；$I_3$是柱体减锥体的体积；
第3题，$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n$收敛$\Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_{2n-1}-a_{2n}$收敛，这俩是一回事。又因$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n$条件收敛，则$\sum_{n=1}^\infty a_n$发散$\Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty 4a_{2n-1}$发散。收敛+发散=发散；
第4题，在$D$内任一点处沿两个不共线方向的方向导数均为零，则$f(x,y)$恒等于常数$C$（理解证明）；
第8题，灵活利用放缩和不等式；
第18题，第二问解拉格朗日方程组，思路也得灵活；
第19题，到$2f(u)\int_0^u f(t)dt=u^2$这一步，再往下求解$f(x)$有两种方法：1. 转化成伯努利方程（不好算）；2. 构造变限积分函数$F(u)=\int_0^u f(t)dt$
第20题，注意题干说的是旋转曲面“内侧”；如果要求方向余弦，一定记得归一化！

得分：123（暴露了一些知识点细节上的问题）

第1题，判断函数在某点是否可导就用定义法，不能通过判断导函数在这点的值！
第4题，判断$\sum_{n=1}^\infty (\ln \frac1n-\ln \sin\frac1n)$，通过泰勒公式和等价无穷小判断；
第8题，$AB=\overline A\overline B$，则$AB=\overline A\overline B=AB\overline A\overline B=0$
第13题，$\iint_{\sum}dS=2\pi r\cdot h=2\pi$
第14题，求函数的最值，将所有的驻点都求出（不需要专门判断是最大还是最小）然后加上边界点一起比较即可；
第20题，证明级数收敛问题，利用到了灵活的放缩和$x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)$
第22题，$\overline X=\frac{X_1+X_2}{2}$，$S^2=(X_1-\frac{X_1+X_2}{2})^2+(X_2-\frac{X_1+X_2}{2})^2=2(X_1-X_2)^2$，$(X_1+X_2)^2=4\overline X^2$，又$\overline X$与$S^2$独立，则$(X_1-X_2)^2$与$(X_1+X_2)^2$独立。

得分：133（做题时下笔慢一些）

第2题，构造函数$F(x)=\ln f(x)-x$
第3题，$I_k=\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos ^2kx}dx,k=1,2,3$，换元$t=kx$，最终可以得到$I_k=2\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+\cos^2 t}dt$
第6题，矩阵合同的前提是得是实对称矩阵
第8题，列式子直接算就行
第9题，$EX$存在的充分必要条件是$\sum |x_i|p_i$收敛（注意有绝对值）
第12题，两种方法：1. 分部积分；2. 转化成二重积分（注意$1<t<x$，而不是$x<t<1$，最后结果容易取相反数）
第19题，第三问，用等价无穷小和泰勒级数可以做出来

得分：125（遇到阻碍要及时绕行）

第1题：极限运算法则的加法法则（基础但容易忽视）：$\lim_{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
第2题：$\lim_{-\infty}^{\infty}e^{|x|}\sin xdx$是不收敛的，因为$\lim_{b\to +\infty}\int_0^b e^x\sin xdx$不存在
第3题：可以把极坐标的$r ,\theta$当做横轴和纵轴表示出来
第12题：很简单，但给整傻了
第14题：斯托克斯公式转化成第一类面积分然后用对称性或轮换对称性
第18题：高斯公式+补面
第19题：$\int \cot xdx=\ln \sin x$
第20题：第三问有点绕，罗尔、零点、拉格朗日定理都用到了
第21题：求$a$的简便方法：$\sum a_{ii}=\sum \lambda _i$

得分：138

第1题：判断$f(x)$在$x=0$是否可导，通过定义来判断左右导数是否存在且相等
第3题：$\{u_n\}$是单调减小的正值序列，由单调收敛准则，一定有$\lim_{n\to \infty}u_n=a$（$a$不一定等于$0$）。$A,B$可举反例$1+\frac1n$；$D$通过放缩法来证明。
第14题：图形绕$y$旋转得到的旋转体体积：$V=2\pi\int_a^b xf(x)dx$
第21题：当$|A|=0$时，$A^\star A=|A|E=0$，$A$的列向量是$A^\star x=0$的解

得分：140

第2题，$f’(x)$在$x=0$的邻域内有界，则不能含有$\frac1x$的成分
第10题，$\frac1n\sum_{i=1}^n X_i^2\to(P)\to E(X^2),\overline X^2\to (P)\to E^2(X)$，故$S^2=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i^2-\overline X^2\to(P)\to σ^2$；总体的概率密度未知，无法求出最大似然估计量。
第15题，$A_{11}+A_{22}+A_{33}=tr(A^\star)=\sum\frac{|A|}{\lambda_i}$
第16题，$max\{X,Y\}=max\{\mu+σX_1,\mu+σY_1\}=\mu+σmax\{X_1,Y_1\}$，$max\{X_1,Y_\}=\frac12\max\{X_1+Y_1+|X_1-Y_1|\}$
第17题，$\sum: x^2+y^2=-2x(z-1)(0\le z\le 1)$是个非标准的锥面，图形可通过“截面法”做出：$z$取特殊值；

Mat Jenin

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