信号 第三章：连续时间信号与系统的频域分析

3.1 连续时间LTI系统的特征函数

CT LTI系统的特征函数：复指数信号$e^{j\omega t}$（是$e^{st}=e^{(σ+j\omega)t}$，本章均只涉及$σ=0$情况）

系统对$e^{j\omega t}$信号的特征值，即系统函数为：

$$H(j\omega)=H(s)|_{s=j\omega}=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$$

3.2 连续时间周期信号的傅里叶级数

一个连续时间周期信号$x(t)$的傅里叶级数为：

复指数形式：

$$\begin{cases} x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk\omega_0t},\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}\\ a_k=\begin{cases} \frac1{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt&,{k\ne0}\\ \frac 1{T_0}\int_{T_0}x(t)dt&,{k=0} \end{cases} \end{cases}$$

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三角函数形式：

$$\begin{cases} x(t)=B_0+\sum_{k=1}^\infty(B_k\cos k\omega_0t+C_k\sin k\omega_0t)\\ B_0=\frac1{T_0}\int_{T_0}x(t)dt\\ B_k=\frac2{T_0}\int_{T_0}x(t)\cos k\omega_0tdt\\ C_k=\frac2{T_0}\int_{T_0}x(t)\sin k\omega_0tdt,\omega_0=\frac{2\pi}{T_0} \end{cases}$$

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两者系数的关系为：

$$\begin{cases} B_0=a_0\\ B_k=a_{-k}+a_k,k\ne 0\\ C_k=j(a_k-a_{-k}),k\ne0 \end{cases} \quad\quad\begin{cases} a_0=B_0\\ a_k=\frac12(B_k-jC_k),k\ge 1\\ a_{-k}=\frac12(B_k+jC_k),k\ge 1 \end{cases}$$

3.3 连续时间信号的傅里叶变换

$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\\ x(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$$

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周期信号$x(t)$的傅里叶变换为：

$$X(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0),\omega_0=\frac{2\pi}{T}$$

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常见的傅里叶变换对：

$$\begin{aligned} 1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)&\quad\quad\quad e^{j\omega_0t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)\\ \delta(t)\leftrightarrow 1& \quad\quad\quad \delta(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}\\ u(t)\leftrightarrow \frac1{j\omega}+\pi\delta(\omega)&\quad\quad\quad e^{-\alpha t}u(t),Re\{\alpha\}>0\leftrightarrow \frac1{\alpha+j\omega}\\ te^{-\alpha t}u(t),Re\{\alpha\}>0\leftrightarrow\frac{1}{(\alpha+j\omega)^2}&\quad\quad\quad \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\alpha t}u(t),Re\{\alpha\}>0\leftrightarrow \frac{1}{(\alpha+j\omega)^n}\\ \cos \omega_0t\leftrightarrow \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]&\quad\quad\quad \sin\omega_0t\leftrightarrow\frac\pi j[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]\\ \frac{\sin Wt}{\pi t}=\frac{W}\pi Sa(Wt)\leftrightarrow X(j\omega)=\begin{cases} 1,&{|\omega|<W}\\0,&{|\omega|>W}\end{cases}&\quad\quad\quad x(t)=\begin{cases} 1,&{|t|<T_1}\\0,&{|t|>T_1}\end{cases}\leftrightarrow 2T_1Sa(\omega T_1)\\ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{j\omega_0 t}\leftrightarrow2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\delta(\omega-k\omega_0)&\quad\quad\quad \sum_{k=- \infty}^{+\infty}\delta(t-kT)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\frac{2k\pi}{T}) \end{aligned}$$ $$e^{-\alpha t}u(t)\leftrightarrow \frac1{\alpha+j\omega}\quad\quad\quad e^{-\alpha|t|}\leftrightarrow \frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}$$ $$矩形门函数\ g_r(t)=\begin{cases}1,&{|t|<\frac\tau2}\\0,&{|t|>\frac\tau2} \end{cases}\leftrightarrow \tau Sa(\frac{\omega \tau}{2})\\$$ $$三角形脉冲\ f_△(t)=\begin{cases}1-\frac2\tau|t|,&{|t|<\frac\tau 2}\\0,&{|t|>\frac\tau 2}\end{cases}\leftrightarrow \frac\tau2Sa^2(\frac{\omega \tau}4)$$

3.4 傅里叶变换性质

判断周期信号是否是实信号或奇偶性要看其傅里叶级数系数。

实信号的傅立叶级数系数以及傅立叶变换为共轭对称。

$$x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}\Leftrightarrow Re[X(j\omega)]\quad\quad\quad x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}\Leftrightarrow jIm[X(j\omega)]$$

3.5 CT LTI系统的频率响应与频率分析

一个冲激响应为$h(t)$的LTI系统可表示为：

其中$H(j\omega)$为单位冲激响应$h(t)$的傅里叶变换，称为频率响应。

输出信号的频谱$Y(j\omega)$等于

$$Y(j\omega)=X(j\omega)H(j\omega)$$

则系统的频率响应可表示为：

$$H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=|H(j\omega)|e^{j\theta(\omega)}$$

式中$|H(j\omega)|$称为系统的幅频特性， $\theta(\omega)$称为系统的相频特性。

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周期信号激励下的系统响应：周期信号$x(t)$的傅里叶级数展开式为$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk\omega_0 t},\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$，则系统对该周期信号的响应可表示为：$y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kH(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}$

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当LTI系统可用线性常系数微分方程描述时：

$$\sum_{k=0}^Na_k\frac{d^{(k)}y(t)}{dt^k}=\sum_{k=0}^Mb_k\frac{d^{(k)}x(t)}{dt^k}$$

其系统的频率响应为：

$$H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{\sum_{k=0}^Mb_k(j\omega)^k}{\sum_{k=0}^Na_k(j\omega)^k}$$

$$H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\theta(\omega)}$$

则系统对正弦信号的响应为：

$$A\cos(\omega_0 t+\theta_0)\to A|H(j\omega_0)|\cos (\omega_0t+\theta_0+\theta(\omega_0))\\ A\sin(\omega_0 t+\theta_0)\to A|H(j\omega_0)|\sin (\omega_0t+\theta_0+\theta(\omega_0))\\$$

3.6 信号滤波与低通滤波器

理想低通滤波器的频域特性为：

$$H(j\omega)=\begin{cases} e^{-j\omega t_0},&{|\omega|<\omega_c}\\ 0,&{其它} \end{cases}$$

其中，$\omega_c$为滤波器的截止频率。

通带，阻带

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理想低通滤波器的单位冲激响应$h(t)$为：

$$h(t)=\frac{\omega_c}{\pi}×\frac{\sin[\omega_c(t-t_0)]}{\omega_c(t-t_0)}$$

注意到，当$t<0$时，$h(t)\ne 0$，因此理想低通滤波器是个非因果系统。

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理想低通滤波器的单位阶跃响应$s(t)$为：

$$s(t)=\frac12+\frac1\pi Si[\omega_c(t-t_0)]\\ Si(y)=\int_0^y\frac{\sin x}{x}dx$$

要记住：

$$s(t)=h(t)\star u(t)=\int_0^t h(t)dt$$

题型总结（强化）