数一高数 第一章：函数，极限，连续

函数

函数

一个$x$只对应一个$y$值。

反函数

严格单调函数必有反函数。

初等函数

基本初等函数： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的统称。

初等函数： 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成并可用一个式子表示的函数。

函数的四种特性

有界性

单调性

讨论方法：

①. 求导

②. 定义法：对任何$x_1,x_2∈D$，$x_1\ne x_2$，则

$$f(x)是单调增函数\leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\gt 0\\ f(x)是单调减函数\leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\lt 0\\ f(x)是单调不减函数\leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\ge 0\\ f(x)是单调不增函数\leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\le 0\\$$

不能忽视定义法！

奇偶性

• $F_1(x)=f(x)-f(-x)$必为奇函数，$F_1(x)=f(x)+f(-x)$必为偶函数；

• 任何一个函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数之和；

• 奇函数$y=f(x)$关于原点对称，当其在$x=0$处有定义时，必有$f(0)=0$；

• 偶函数$y=f(x)$关于$y$轴对称，当$f’(0)$存在时，必有$f’(0)=0$；
• $y=f(x)$关于直线$x=T$对称的充分必要条件为：

$$f(x)=f(2T-x)或f(T+x)=f(T-x)$$

周期性

☆☆☆关于上述四种特性的一些重要知识点：

①. 函数求导奇偶性改变；

②. $f(x)$可导且周期为$T$，则$f’(x)$也是以$T$为周期的周期函数；

③. 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数；

④. 连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数；

⑤. 若连续函数$f(x)$以$T$为周期且$\int_0^Tf(x)dx=0$，则$f(x)$一切原函数也以$T$为周期；

⑥. 若$f(x)$在有限区间$(a,b)$内可导且$f’(x)$有界，则$f(x)$在$(a,b)$内有界。

极限

极限的概念

数列的极限

定义：$\forallε>0$，$\exists N>0$，当$n>N$时，恒有$|x_n-a|<ε$成立，则$\lim_{n→\infty}x_n=a$。

$$\lim_{x\rightarrow \infty}x_n=a\leftrightarrow \lim_{k\rightarrow \infty}x_{2k-1}=a\leftrightarrow \lim_{k\rightarrow \infty}x_{2k}=a$$

若数列$\{x_n\}$极限值存在，则其值与$\{x_n\}$前有限项无关。

函数的极限

自变量趋向于无穷大时

定义：

$\forall ε>0$，$\exists X>0$，当$x>X$时，恒有$|f(x)-a|<ε$，则$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=a$。

$\forall ε>0$，$\exists X>0$，当$x<-X$时，恒有$|f(x)-a|<ε$，则$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=a$。

$\forall ε>0$，$\exists X>0$，当$|x|>X$时，恒有$|f(x)-a|<ε$，则$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=a$。

自变量趋向于有限值时

定义：

$\forall ε>0$，$\exists \delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)-a|<ε$，则$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a$。

这里$x\rightarrow x_0$，但$x\ne x_0$，极限$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$是否存在，与如果存在极限值等于多少与$f(x)$在$x= x_0$处有没有定义、 如果有定义函数值等于多少无关，只与$x=x_0$的去心邻域$\mathring U(x_0,\delta)$函数值有关。

$\forall ε>0$，$\exists \delta>0$，当$x_0-\delta<x<x_0$时，恒有$|f(x)-a|<ε$，则$\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A$，左极限。

$\forall ε>0$，$\exists \delta>0$，当$x_0<x<x_0+\delta$时，恒有$|f(x)-a|<ε$，则$\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A$，右极限。

定理：极限$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$存在的充要条件是左极限$\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$和右极限$\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)$存在并且相等。

需分清左右极限的常见函数：

①. 分段函数，绝对值函数；

②. $e^\infty$型极限：$\lim_{x\rightarrow 0}e^{1/x}$，$\lim_{x→\infty}e^x$，$\lim_{x→\infty}e^{-x}$;

③. $arctan \infty$型极限：$\lim_{x→\infty}arctan x$，$\lim_{x→0}arctan \frac1x$。

常用的基本极限

$$\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1, \quad \lim_{x→\infty}(1+\frac1x)^x=e, \quad \lim_{x→0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$$ $$\lim_{n→\infty}\sqrt[n]n=1,\quad \lim_{n→\infty}\sqrt[n]a=1(a>0)$$

若$\lim \alpha(x)=0$，$\lim \beta(x)=\infty$，且$\lim \alpha(x)\beta(x)=A$，则

$$\lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}=e^A$$

极限的性质

有界性

（数列）：如果数列$\{x_n\}$收敛，那么数列$\{x_n\}$一定有界；反之不成立，例：$x_n=(-1)^n$。

（函数）：若$\lim_{x→x_0}f(x)$存在，则$f(x)$在$x_0$某去心邻域有界；反之不成立，例：$sin \frac1x$。

保号性

（数列）：设$\lim_{n→\infty}x_n=A$，

（1）：如果$A>0$（或$A<0$），则$\exists N>0$，当$n>N$时，$x_n>0$（或$x_n<0$）；

（2）：如果$\exists N>0$，当$n>N$时，$x_n\ge 0$（$x_n\le 0$），则$A\ge 0$（$A\le 0$）。

注意有没有$“=”$号：
$A\ge 0\nRightarrow x_n\ge 0$（例$x_n=\frac{(-1)^n}{n},\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0$）

$x_n\gt 0\nRightarrow A>0$（例$x_n=\frac1n,\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$）

（函数）：设$\lim_{n→\infty}f(x)=A$，

（1）：如果$A>0$（或$A<0$），则$\exists \delta>0$，当$x∈\mathring U(x_0,\delta)$时，$f(x)>0$（或$f(x)<0$）；

（2）：如果$\exists \delta>0$，当$x∈\mathring U(x_0,\delta)$时，$f(x)\ge 0$（或$f(x)\le 0$）,则$A\ge 0$（$A\le 0$）。

极限值与无穷小的关系

$$\lim f(x)=A\leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)$$

其中$\lim\alpha(x)=0$。

极限四则运算法则与幂指数法则

求函数极限时，函数极限里的某部分能否直接取极限为具体的数，需看整体是否满足极限运算法则或幂指数法则，不满足的话一定不能取。

极限的四则运算法则

设$\lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B$，则

$$\lim_{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B\quad \lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B\quad\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac AB\ (B\ne 0)$$

反例：下面的等式不满足上述运算法则，所以不成立

$$\lim_{x\to \infty}(\sin\frac1x+\cos\frac1x)^x\ne\lim_{x\to\infty}(\sin\frac1x+1)^x$$ $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x\cos x}\ne \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x\cos x}$$

但有：

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin x-x\cos x}{x}}{\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x}$$

因为上式满足$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac AB\ (B\ne 0)$

幂指数法则

设$\lim_{x\to a}f(x)=A>0,\lim_{x\to a}g(x)=B$，则$\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=A^B(A>0)$。

反例：

$$\lim_{x\to \infty}\frac{(1+\frac1x)^{x^2}}{e^x}=\lim_{x\to \infty}\frac{[{(1+\frac1x)^{x}]^x}}{e^x}\ne \lim_{x\to \infty}\frac{e^x}{e^x}$$

深入理解-视频讲解

极限的存在准则

夹逼准则

若$\exists N$，当$n>N$时，$x_n\le y_n\le z_n$，且$\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\lim_{n\rightarrow \infty}z_n=a$，则$\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=a$。

• $f(x)→0\quad \leftrightarrow \quad |f(x)|→0$

• $\max\{a_i\}=a$，则$\lim_{n→\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+…a_m^n}=a$，其中$a_i>0,i=1,2,…m$

单调有界准则

单调有界数列必有极限。

需要注意：递归数列$a_{n+1}=f(a_n)$的单调性与函数$f(x)$的单调性有关；设$a_{n+1}=f(a_n)(n=1,2,3,…)$，$a_n∈$区间$I$：

• 若$f(x)$在区间$I$单调上升，$a_2>a_1(a_2<a_1)$，则数列$\{a_n\}$单调上升
• 若$f(x)$在区间$I$上单调下降，则数列$\{a_n\}$不具有单调性（李正元P13,例1.17，注意该题所用的定理，在下面技巧知识点部分介绍）

①. 夹逼准则比较多用在$n$项和的数列极限，单调有界准则比较多的用在递推关系$x_{n+1}=f(x)$所定义在数列极限。

②. 函数极限也有对应的以上两条准则存在。

无穷小量

概念：若$f(x)$当$x→x_0$或$x→\infty$时的极限为零，则称$f(x)$为$x→x_0$或$x→\infty$时的无穷小量。

无穷小量的比较：高阶、低阶、同阶、等价、无穷小的阶。

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases} \ne0且\ne1&,{f(x)与g(x)同阶而不等价}\\ 1&,{f(x)与g(x)等价}\\ 0&,{f(x)比g(x)高阶}\\ \infty&,{f(x)比g(x)低阶} \end{cases}$$

性质：有限个无穷小的和、积仍是无穷小；无穷小量与有界量的积仍是无穷小。

常用的等价无穷小代换

当$x→0$时，

$$x\sim sinx\sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim ln(1+x)\sim e^x-1$$ $$(1+x)^\alpha -1\sim \alpha x, \quad 1-cosx\sim \frac12x^2, \quad a^x-1\sim x\ln a$$ $$x-sinx\sim \frac16x^3, \quad tanx-x\sim \frac13x^3, \quad x-\ln(1+x)\sim \frac12x^2$$ $$arcsinx-x\sim \frac16x^3, \quad x-arctanx\sim \frac13x^3$$

若$\alpha(x)→0,\alpha(x)\beta(x)→0$，则

$$(1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1\sim \alpha(x)\beta(x)$$

新增：

$$\ln (x+\sqrt{1+x^2})\sim x\quad(x\to 0)$$

代换原则：

①. 乘除关系可以换：若$\alpha\sim \alpha_1,\beta\sim\beta_1,$则$\lim\frac{\alpha}{\beta}=\lim\frac{\alpha_1}{\beta}=\lim\frac{\alpha}{\beta_1}=\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}$；

②. 加减关系在一定条件下可以换：

• 若$\alpha\sim \alpha_1,\beta\sim\beta_1$，且$\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\ne 1$，则$\alpha-\beta\sim\alpha_1-\beta_1$
• 若$\alpha\sim \alpha_1,\beta\sim\beta_1$，且$\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\ne -1$，则$\alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1$

无穷大量

概念：若$f(x)$当$x→x_0$（或$x→\infty$）时趋向于无穷，则称$f(x)$为$x→x_0$（或$x→\infty$）时的无穷大量。

当$x→+\infty$时，有$\ln^{\alpha} x<<x^{\beta}<<a^x$。

其中$\alpha,\beta>0$,$a>1$。

性质：两个无穷大之积仍为无穷大量；无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量。

与无界变量的关系：无穷大量必为无界变量，无界变量不一定是无穷大量。

无界变量：$\forall M>0$，$\exists N>0$，使$|x_N|>M$；

无穷大量：$\forall M>0$，$\exists N>0$，当$n>N$时，恒有$|x_n|>M$。

洛必达法则

若：

（1）$\lim_{x→x_0}f(x)=\lim_{x→x_0}g(x)=0(\infty)$；

（2）$f(x)$和$g(x)$在$x_0$的某去心邻域内可导，且$g’(x)≠0$；

（3）$\lim_{x→x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}$存在（或$\infty$），

则：$\lim_{x→x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x→x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}$

因为数列没有导数的概念，所以数列极限需先转化成函数极限才能使用洛必达。

泰勒公式

带皮亚诺余项的泰勒公式：设$f(x)$在$x=x_0$处$n$阶可导，则：

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n$$

几个常用的泰勒公式：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\tag{1}$$ $$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})\tag{2}$$ $$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n!}+o(x^{2n})\tag{3}$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}n+o(x^n)\tag{4}$$ $$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\tag{5}$$

连续

连续性的概念

定义：设$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，若$\lim_{x→x_0}f(x)=f(x_0)$，则称$y=f(x)$在点$x_0$处连续。

左连续、右连续

$\lim _{△x\to 0}[f(x+△x)-f(x)]=0$

定理：函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$f(x)$在点$x_0$处既左连续又右连续。

间断点及其分类

定义：若$f(x)$在$x_0$某去心邻域有定义，但在$x_0$处不连续，则称$x_0$为$f(x)$的间断点。

分类：

• 第一类间断点：左右极限都存在

  • 可去间断点：左右极限都存在且相等
  • 跳跃间断点：左右极限都存在但不相等

• 第二类间断点：左、右极限至少一个不存在

  • 无穷间断点：$\lim_{x→x_0^-(或x→x_0^+)}f(x)=\infty$
  • 振荡间断点：当$x→x_0$时，函数在不同的值之间无穷多次振荡，例如$y=sin\frac1x$在$x_0=0$时。

闭区间上连续函数的性质

最值定理：设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值；

有界性定理：设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有界；

介值定理：设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)≠f(b)$，则对于任意介于$f(a)$与$f(b)$之间的数$C$，至少存在一点$ξ∈(a,b)$，使$f(ξ)=C$；

推论：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可取到介于最小值$m$和最大值$M$之间的任何值。

零点定理：设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)·f(b)<0$，则至少存在一点$ξ∈(a,b)$，使$f(ξ)=0$。

技巧知识点

①. 若$\lim_{n\to \infty}x_n$与$\lim_{n\to\infty}y_n$都存在，$x_n<y_n$，则$\lim_{n\to \infty}x_n\le\lim_{n\to \infty}y_n$，（注意有$”=”$，比如$x_n=1/n,y_n=2/n$的情况）（李正元P3 例1.1）

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②. 函数的局部有界性：若存在极限$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，则$f(x)$在$x_0$的某个空心邻域是有界的。（李正元P3 例1.1）

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③. 对任意数列$\{a_n\}$，若满足$|a_n-A|\le k|a_{n-1}-A|,(n=2,3…)$，其中$0<k<1$，必有$\lim_{n\to \infty}a_n=A$（李正元P13,例1.17）

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④. 怎么放缩-是个薄弱点。

几个例子：

1.求

$$\lim_{n\to \infty}x_n =\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot \quad\quad\cdot... 2n}}$$ $$\sqrt[n]{\frac1{2n}}\le x_n=\sqrt[n]{\frac32\cdot\frac54...\cdot\frac{2n-1}{2n-2}\cdot \frac1{2n}}=\sqrt[n]{\frac12\cdot\frac34...\cdot\frac{2n-3}{2n-2}\cdot \frac{2n-1}{2n}}\le1$$

故$\lim_{n\to\infty}x_n=1$

1. 求

$$\lim_{n\to \infty}\frac{M^n}{n!}(M>0为常数)$$

存在自然数$k\ge M$,使$1>\frac{M}{k+1}>\frac M{k+2}>…$，当$n>k$时有，

$$\begin{aligned} 0&<\frac{M^n}{n!}=\frac M1\cdot \frac M2\cdot \frac M3...\frac M{k}\cdot \frac M{k+1}\cdot ...\frac{M}{n}\\ &<\frac{M^k}{k!}\cdot \frac Mn=\frac{M^{k-1}}{k!}\cdot \frac1n \end{aligned}$$

故$\lim_{n\to \infty}\frac{M^n}{n!}=0$

1. 求

$$\lim_{n\to \infty}(\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56...\frac{2n-1}{2n})$$

分析：利用糖水不等式：

$$\frac ab<\frac{a+c}{b+c}\ (a>b>0,c>0)$$

解：$a_n=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56…\frac{2n-1}{2n},b_n=\frac23\cdot\frac45\cdot\frac67…\frac{2n}{2n+1}$，则$a_n<b_n$

故有：

$$0<a_n^2<a_nb_n=\frac1{2n+1}\to \lim_{n\to\infty}\le \lim_{n\to\infty}a_n^2\le \lim_{n\to\infty} \frac1{2n+1}（等号是因为极限的保号性）$$

原极限值为$0$。该题的视频讲解

题型总结（强化）