信号第四章：离散时间信号与系统的频域分析

3.1 离散时间LTI系统的特征函数

DT LTI系统的特征函数： 离散时间复指数信号$z^n$

$z^n\to y[n]=H(z)\cdot z^n$

系统对$z^n$信号的特征值，即系统函数为：

$H(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty h[k]z^{-k}$

3.2 离散时间周期信号的傅里叶级数

离散时间傅里叶级数的定义式：

$x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\omega_0n}$ $a_k=\frac1N\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\omega_0n}$

其中$\omega_0=\frac{2\pi}{N}$

表示在求和中，$k$只要取足$N$个相继的整数值即可。

离散时间傅里叶级数系数$a_k$总是存在且唯一，具有周期性：$a_{k+N}=a_k$

3.3 离散时间信号的傅里叶变换

离散时间信号傅里叶变换：

$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^\infty x[n]e^{-j\omega n}$ $x[n]=\frac1{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$

离散时间周期信号的傅里叶变换：

$x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk(\frac{2\pi}N)n}\Leftrightarrow \sum_{k=-\infty}^\infty 2\pi a_k\delta(\omega-\frac{2\pi}Nk)$

常用的基本傅里叶变换对：

$\begin{aligned} 1\Leftrightarrow 2\pi\sum_{k=-\infty}^\infty\delta(\omega-2\pi k)& \quad\quad\quad e^{j\omega_0 n}\Leftrightarrow 2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-\omega_0-2\pi k)\\ \delta[n]\Leftrightarrow 1&\quad\quad\quad a^nu[n]\Leftrightarrow \frac1{1-ae^{-j\omega}}\\ &\quad\quad\quad u[n]\Leftrightarrow \frac1{1-e^{-j\omega}}+\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2k\pi) \end{aligned}$ $\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(n-kN )\Leftrightarrow \frac{2\pi}N\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\frac{2\pi k}N)$ $\begin{aligned} \cos\omega_0n\Leftrightarrow \pi\sum_{k=-\infty}^\infty [\delta(\omega-\omega_0-2\pi k)+\delta(\omega+\omega_0-2\pi k)]\\ \sin\omega_0n\Leftrightarrow \frac{\pi}j\sum_{k=-\infty}^\infty [\delta(\omega-\omega_0-2\pi k)-\delta(\omega+\omega_0-2\pi k)] \end{aligned}$ $x[n]=\begin{cases} 1,&{|n|\le N_1}\\ 0,&{|n|\gt N_1} \end{cases}\Leftrightarrow \frac{\sin[\omega(N_1+\frac12)]}{\sin(\frac{\omega}{2})}\\ \frac{\sin Wn}{\pi n}=\frac{W}\pi Sa(Wn),0<W<\pi\Leftrightarrow X(e^{j\omega})=\begin{cases}1,&{0\le|\omega|\le W}\\0,&{W<|\omega|<\pi} \end{cases}$ $a^{|n|}\quad ,|a|<1\Leftrightarrow \frac{1-a^2}{1-2a\cos \omega+a^2}$

增：

$4(\frac{\sin \frac{\pi n}4 }{\pi n})^2\Leftrightarrow \begin{cases} 1-\frac{2|\omega|}{\pi},&{0\le |\omega|\le \frac\pi 2}\\ 0,&{\frac{\pi}{2}\le |\omega|\lt \pi} \end{cases}$

3.4 傅里叶变换性质

对偶性：

离散时间傅里叶级数的对偶性

$x[n]\leftrightarrow a_k\Rightarrow a_n\leftrightarrow\frac1Nx[-k]$

离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶性：

$x[n]\leftrightarrow X(e^{j\omega})\Leftrightarrow X(e^{jt})\leftrightarrow x[-k]$

上式表示信号频谱（周期为2π）的傅里叶级数为$x[-k]$

3.5 DT LTI系统的频率响应与频率分析

DT LTI系统的频率响应：

上述$H(e^{j\omega})$称为DT LTI系统频率响应。

输出信号的频谱$Y(j\omega)$等于

$Y(j\omega)=X(j\omega)H(j\omega)$

则系统的频率响应可表示为：

$H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=|H(j\omega)|e^{j\theta(\omega)}$

式中$|H(j\omega)|$称为系统的幅频特性， $\theta(\omega)$称为系统的相频特性。

周期信号激励下的系统响应：输入周期信号$x[n]$的傅里叶级数展开式为：

$x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\omega_0n},\quad\omega_0=\frac{2\pi}N$

系统对该周期信号的响应为：

$y[n]=\sum_{k=<N>}a_kH(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0 n}$

当离散时间LTI系统可以用线性常系数差分方程描述时：

$\sum_{k=0}^Na_ky[n-k]=\sum_{k=0}^Mb_kx[n-k]$

其系统的频率响应为：

$H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}=\frac{\sum_{k=0}^Mb_ke^{-jk\omega}}{\sum_{k=0}^Na_ke^{-jk\omega}}$

$H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}$

则系统对正弦信号的响应为：

$A\cos(\omega_0 n+\theta_0)\to A|H(e^{j\omega_0})|\cos (\omega_0n+\theta_0+\theta(\omega_0))\\ A\sin(\omega_0 n+\theta_0)\to A|H(e^{j\omega_0})|\sin (\omega_0n+\theta_0+\theta(\omega_0))\\$

知识点补充

①.

$x[n]\cos \omega_0 n\Leftrightarrow \frac12[X(e^{j(\omega+\omega_0)})+X(e^{j(\omega-\omega_0)})]\\ x[n]\sin \omega_0 n\Leftrightarrow \frac1{j2}[X(e^{j(\omega-\omega_0)})-X(e^{j(\omega+\omega_0)})]\\$

②. 要注意时域相乘对于频域的卷积后只留下一个周期的部分。