数一线代第五章：特征值和特征向量

一、特征值和特征向量

定义：设A是n阶矩阵，如果存在一个数$\lambda$及非零的n维向量$\alpha$，使得：

$A\alpha=\lambda \alpha$

成立，则称$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，称非零向量$\alpha$是矩阵$A$属于特征值$\lambda$的一个特征向量。

特征向量$\alpha$是齐次方程组$(\lambda E-A)x=0$的非零解。

特征多项式：$|\lambda E-A|$； 特征方程：$|\lambda E-A|=0$。

求特征值，特征向量的方法：

①. 先由$|\lambda E-A|=0$求矩阵A的特征值$\lambda_i$（共n个），再由$(\lambda_iE-A)x=0$求基础解系，即矩阵A属于特征值$\lambda_i$的线性无关的特征向量。

②. 用定义$A\alpha=\lambda \alpha$推理分析。

定理：如果$\alpha_1,\alpha_2$都是矩阵A对应于特征值$\lambda$的特征向量，则当$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\ne 0$时，$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$仍是矩阵A属于特征值$\lambda$的特征向量。

定理：如果$\lambda_1$和$\lambda_2$是矩阵$A$的不同的特征值，对应的特征向量分别是$\alpha_1,\alpha_2$，则$\alpha_1,\alpha_2$线性无关。

不同特征值的特征向量进行加减之后不再是矩阵A的特征向量。

定理：如果$A$是$n$阶矩阵，$\lambda_i$是$A$的$m$重特征值，则属于$\lambda_i$的线性无关的特征向量的个数不超过$m$个。

定理：设A是n阶矩阵，$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$是矩阵A的特征值，则

（1） $\sum \lambda_i=\sum a_{ii}$

（2） $|A|=\prod \lambda_i$

推论：如果$A$的一个多项式$f(A)=0$，则$A$的每个特征值$\lambda$都满足$f(\lambda)=0$.

增：$A^T\quad-\quad \lambda\quad-\quad $（特征向量无关系）

对于上图最右边的，若是另一种情况，$P^{-1}AP$的特征向量为$\alpha$，则$A$的特征向量为$P\alpha$，不要混淆。

二、相似矩阵

定义：设$A,B$都是$n$阶矩阵，如果存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则称$B$是$A$的相似矩阵，$A\sim B$。

性质：

①. $A\sim A$，反身性

②. 若$A\sim B$，则$B\sim A$，对称性

③. 若$A\sim B,B\sim C$，则$A\sim C$，传递性

两个矩阵相似的必要条件：

①. 特征多项式相同，即$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$；

②. $r(A)=r(B)$；

③. $|A|=|B|=\prod \lambda_i$；

④. $A,B$有相同的特征值；

⑤. $\sum_{i=1}^na_{ii}=\sum_{i=1}^n b_{ii}=\sum_{i=1}^n \lambda_i$。

联想：

①. 若$A\sim B$，则$A^2\sim B^2$；

②. 若$A\sim B$，则$A+kE\sim B+kE$；

③. 若$A\sim B$，且$A$可逆，则$A^{-1}\sim B^{-1}$。

④. 若$A\sim B$，则$A^T\sim B^T$

相似对角化：若$A\sim Λ$，则称矩阵$A$可相似对角化。

定理：（充要）

n阶方阵$A\sim Λ\leftrightarrow A$有n个线性无关的特征向量。

$\leftrightarrow \lambda_i$是$A$的$n_i$重特征值，则$\lambda_i$有$n_i$个线性无关的特征向量

$\leftrightarrow$秩$r(\lambda_i E-A)=n-n_i$，$\lambda_i$为$n_i$重特征值

推论（充分）：若$A$有$n$个不同的特征值，则$A\sim Λ$。

$A\sim \left[\begin{matrix} \lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n \end{matrix}\right]$

相似对角化解题步骤：

求特征值$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$（可有重根）；

求特征向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$；

构造可逆矩阵$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，则有

$P^{-1}AP=Λ=\left[\begin{matrix} \lambda_1&&\\ &\lambda_2&\\ &&\lambda_3 \end{matrix}\right]$

三、实对称矩阵

定理：实对称矩阵必可相似对角化。（充分）

定理：实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交。

定理：设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交阵Q，使得$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ$。

实对称矩阵用正交矩阵相似对角化-解题步骤：

求特征值$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$（可有重根）；

求特征向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$；

改造特征向量：

如果特征值不同，特征向量已经正交，只需单位化，记$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$；

如果特征值有重根，要判断特征向量是否已经正交？若正交，则只需单位化，否则还需正交化处理。（有适当的方法可以避免繁琐的正交化。例如方程组$x_1+2x_2-2x_3=0$，很明显得出一个解：$\alpha_1=(0,1,1)^T$，此时可以取第二个解为$\alpha_2=(c,-1,1)$来保证正交性，然后代入方程解出$c=4$；来自李正元P441）

将上述特征向量$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$构成正交矩阵$Q=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)$，即有

$Q^{-1}AQ=\left[\begin{matrix} \lambda_1&&\\ &\lambda_2&\\ &&\lambda_3 \end{matrix}\right]$

技巧知识点

①. 设$A=(a_{ij})$是3阶矩阵，则$A$的特征多项式：

$|\lambda E-A|=\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+s_2\lambda-|A|$

其中$s_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}$

特别地，若$r(A)=1$，则由上式可得：

$|\lambda E-A|=\lambda^3-(\sum a_{ii})\lambda^2=(\lambda-\sum a_{ii})\lambda^2$

所以$A$的特征值是$\lambda_1=\sum a_{ii},\lambda_2=\lambda_3=0$

②. 设$\alpha$为n维单位列向量，则$\alpha\alpha^T$的特征根为$1,0,….,0$。$A=\alpha\alpha^T,A^2=\alpha(\alpha^T\alpha)\alpha^T=\alpha\alpha^T=A$（$A^2=A$时求特征根，常见套路，$\lambda=0,1$）。因为$\alpha\alpha^T\alpha=\alpha(\alpha^T\alpha)=\alpha$，特征根$\lambda=1$对应的特征向量有一个$\alpha$，故$\lambda=1$为一重。

③. 利用正交可以求特征向量，如果实对称矩阵$A$有3个不同的特征值，若知道两个特征向量，就可求出第三个特征向量。若特征值有重根，那么知道那个单根的特征向量就可求出重根的所有特征向量。

④. 若已知三阶矩阵$A$的各行元素和为$a$，则可得出$A$的一个特征值$a$，和对应的特征向量$[1,1,1]^T$

$A\left[\begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right]=a \left[\begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right]$

⑤. n阶实对称矩阵$r(A)=m$，则$0$是$A$的$n-m$重特征值

⑥. 设$A$为实矩阵，则$A^TA$的特征值都是非负实数；若$A$是实反对称矩阵，则它的特征值为0，或负实数。（李正元 P444-P445）