数一高数 第六章：定积分的应用

积分学应用的基本方法：微元分析法

任取微元区间$[x,x+△x]$，求出：

$$△F(x)=F(x+△x)-F(x)≈f(x)△x$$

当$△x→0$时，上面的近似式转化为等式，即$dF(x)=f(x)dx$

关键步骤：分割与近似

一、几何应用

1. 平面图形的面积

直角坐标

$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=a,x=b(a<b)$所围，面积为：

$$S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx$$

特例：①. $f(x)\ge g(x)$；②. $g(x)=0$

极坐标

①. 设$ρ_1(\theta),ρ_2(\theta)$在$[\alpha,\beta]$连续，$ρ_1(\theta)\leρ_2(\theta)\ (\forall \theta∈[\alpha,\beta])$，所围面积为：

$$S=\frac12\int_\alpha^\beta ρ^2_2(\theta)-ρ^2_1(\theta)d\theta$$

特例：$ρ_2(\theta)=ρ(\theta),ρ_1(\theta)=0$

②. 设$\theta_1(r),\theta_2(r)$在$[a,b]$上连续，$\theta_1(r)\le \theta_2(r)\ (\forall r∈[a,b])$ ，所围面积为：

$$S=\int_a^b r[\theta_2(r)-\theta_1(r)]dr$$

参数方程

$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=ψ(t) \end{cases}$，$\varphi(\alpha)=a,ψ(\beta)=b$，$\varphi(t)$在$[\alpha,\beta]$上有连续导数且$\varphi’(t)$不变号，$ψ(t)\ge 0$连续，则曲边梯形的面积为：

$$S=\int_a^bydx=\int_\alpha^\betaψ(t)\varphi'(t)dt$$

2. 旋转体体积

区域$D$由曲线$y=f(x)(f(x)\ge 0)$和直线$x=a,x=b(0\le a\lt b)$及$x$轴所围：

①. 区域$D$绕$x$轴旋转一周的体积：

$$V_x=π\int_a^ b f^2(x)dx$$

②. 区域$D$绕$y$轴旋转一周的体积：

$$V_y=2π\int_a^b xf(x)dx$$

3. 曲线弧长

①. $C: y=y(x),a\le x\le b$

$$s=\int_a^b \sqrt{1+y'^2}dx$$

②. $C:\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases},\alpha\le t\le\beta$

$$s=\int_\alpha^\beta \sqrt{x'^2+y'^2}dt$$

③. $C:ρ=ρ(\theta),\alpha\le \theta \le \beta$

$$s=\int_\alpha^\beta \sqrt{ρ^2+ρ'^2}d\theta$$

4. 旋转体侧面积

绕$x$轴（$y$轴需要对应改变）：

曲线$y=f(x)(f(x)\ge 0)$和直线$x=a,x=b(0\le a\lt b)$及$x$轴所围区域绕$x$轴旋转得到的旋转体侧面积：（$f(x)$在$[a,b]$有连续的导数）

$$S=2π\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx$$

曲线参数方程$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t) \end{cases}(\alpha\le t\le \beta)$，且$x(t),y(t)$在$[\alpha,\beta]$有连续导数，则：

$$S=2\pi\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$$

曲线极坐标方程$r=r(\theta)(\alpha\le\theta\le\beta)$，且$r(\theta)$在$[\alpha,\beta]$有连续的导数，则：

$$S=2\pi\int_{\alpha}^\beta r(\theta)\sin\theta\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta$$

二、物理应用

1. 液体的静压力

在液面下深度为$h$处，由液体重量产生的压强等于它的深度$h$与液体比重$\gamma$的乘积：$p=\gamma h$

侧压力：$P=\int_a^b \gamma xf(x)dx$。其中$\gamma$为液体密度，$f(x)$在$[a,b]$连续。

$[x,x+dx]$对应的小条薄板所受的侧压力：$dP=\gamma xf(x)dx$

2. 变力做功

1、一物体沿$x$轴运动，过程中始终有力$F$作用于物体上。物体在$x$处的力为$F(x)$，则物体从$a$移到$b$时变力$F(x)$做的功为：

$$dW=F(x)dx\quad\quad\quad W=\int_a^b F(x)dx$$

2、设有一容器，其顶部所在平面与$Ox$轴（铅直向下）相交于原点，液体表面与$Ox$轴相截于$x=a$，底面与$Ox$轴相截于$x=b$，垂直于$Ox$轴的平面截容器所得的截面面积为$x$的连续函数$S(x)$，则将容器中的液体全部抽出所做的功为：

$$W=\int_a^bρgxS(x)dx$$

3. 质心或形心

均匀线密度为$ρ$的平面曲线的质心（形心）

弧$AB$的直角方程是：$y=y(x),(a\le x\le b)$，质心为：

$$\bar x=\frac{\int_a^bx\sqrt{1+y'^2}dx}{\int_{a}^{b}\sqrt{1+y'^2}dx} \quad\quad \bar y=\frac{\int_a^by\sqrt{1+y'^2}dx}{\int_{a}^{b}\sqrt{1+y'^2}dx}$$

弧$AB$的参数方程是：$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=ψ(t) \end{cases},(\alpha\le t\le \beta)$，其中$\varphi(t),ψ(t)$在$[\alpha,\beta]$有连续的导数，质心为

$$\bar x=\frac{\int_{\alpha}^\beta \varphi(t)\sqrt{\varphi'^2(t)+ψ'^2(t)}dt}{\int_{\alpha}^\beta \sqrt{\varphi'^2(t)+ψ'^2(t)}dt}\quad\quad \bar y=\frac{\int_{\alpha}^\beta ψ(t)\sqrt{\varphi'^2(t)+ψ'^2(t)}dt}{\int_{\alpha}^\beta \sqrt{\varphi'^2(t)+ψ'^2(t)}dt}$$

均匀密度平面图形的质心（形心）

$$\bar x=\frac{\int_a^bx[f(x)-g(x)]dx}{\int_a^b [f(x)-g(x)]dx}\quad\quad \bar y=\frac12\frac{\int_a^b[f^2(x)-g^2(x)]dx}{\int_a^b[f(x)-g(x)]dx}$$

总之：质心（形心）的分母是弧微分的积分，分子是乘以一个$x$（当求质心的$x$轴坐标时）或$\varphi(t)$或$ρ\cos\theta$后再积分。

题型总结（强化）